1、2015-2016学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1复数为纯虚数，则实数a=（）A2BC2D2“不等式x2x+m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）AmB0m1Cm0Dm13下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=Cf（x）=x23xDf（x）=|x|4阅读如图程序框图，其中n0N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数n0的所有可能的值为（）A2，3，4B2C2，3D3，45设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B0，2C1，+）D0，+）6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）
2、视图的面积等于（）A2BCD37（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A0B80x2C80x2D160x28已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC=120，设=2，（R），则等于（）A1B2C1D29已知函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，210已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的表面积为（）A4B12C16D6411已知F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分
3、别交于A、B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A2BCD12已知函数f（x）=x33x，过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（）A（3，2）B（2，3）C（2，1）D（1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为14袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为15x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为16若tan=3tan37，则的值是三、解答题（本大题共6小
4、题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.17已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d=2，S10=120（1）求an；（2）若bn=，求数列bn的前n项和为Tn18在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且a2b2c2=bc（1）求cosC的值（2）若a=5，求ABC的面积19某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至
5、2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =20如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30，若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由21已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求PF1Q内切圆面积最大时实数的值22已知函数
6、f（x）=（2a）x2lnx+a2，g（x）=xe1x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0（0，e，方程f（x）=g（x0）在（0，e上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围2015-2016学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1复数为纯虚数，则实数a=（）A2BC2D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数，2a1=0，2+a0，解得a=故选：D2“不等式x2x+m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）AmB0m1Cm0Dm1【考点】必要条
7、件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据“不等式x2x+m0在R上恒成立”，令f（x）=x2x+m，开口向上，根据判别式0，求出m的范围，根据充分必要条件的定义，进行求解；【解答】解：“不等式x2x+m0在R上恒成立”，=（1）24m0，解得m，A、A是充要条件，故A错误；B、因为m推不出0m1，故B错误；C、mm0，反之不能推出，故C正确；D、m1m，所以m1是“不等式x2x+m0在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误；故选C；3下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=Cf（x）=x23xDf（x）=|x|【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据一次函数
8、、二次函数及增函数的定义便可判断每个选项函数在（0，+）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：Af（x）=3x在（0，+）上为减函数，该选项错误；Bx（0，+），x增大时，减小，增大，即f（x）增大；在（0，+）上为增函数，该选项正确；Cf（x）=x23x的对称轴为x=，x在（0，）上单调递减；该函数在（0，+）上不是增函数，该选项错误；Dx0时，f（x）=|x|=x；f（x）在（0，+）上为减函数，该选项错误故选：B4阅读如图程序框图，其中n0N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数n0的所有可能的值为（）A2，3，4B2C2，3D3，4【考点】程序框图【分析】根据程序框图，理解程
9、序框图的功能进行判断即可【解答】解：若m=N，则m=10，5，4，2，若n0=1，则n从2开始，此时=10， =5， =4， =2，输，4个整数，满足条件，若n0=2，则n从3开始，此时=5， =4， =2，输出3个整数，满足条件，若n0=3，则n从4开始，此时=5， =4， =2，输出3个整数，满足条件，若n0=4，则n从5开始，此时=4， =2，输出2个整数，不满足条件，故输入的自然数n0的所有可能的值为2，3，故选：C5设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B0，2C1，+）D0，+）【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】分类讨论：当x1时；当x1时，再按照指数
10、不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【解答】解：当x1时，21x2的可变形为1x1，x0，0x1当x1时，1log2x2的可变形为x，x1，故答案为0，+）故选D6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A2BCD3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，根据几何体的体积是2求出x，再根据正视图为直角三角形求出其面积【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，几何体的体积V=2x=2x=
11、x=2正（主）视图的面积S=22=2故选A7（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A0B80x2C80x2D160x2【考点】二项式系数的性质【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后写出（2x）5的展开式的通项，进一步求得展开式中含x2项【解答】解：令x=1，则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x）5，（2x）5的展开式的通项为=，则展开式（x+）（2x）5中含x2项为故选：A8已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC=120，设=2，（R），则等于（）A1B2C1
12、D2【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据已知条件可以求出C点坐标C（），再根据AOC=120，便有tan120=，所以解得=1【解答】解：；即，又AOC=120所以：，解得=1故选C9已知函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】求出f（x）的单调减区间A，令（，）A，解出的范围【解答】解：f（x）=sin（x+），令，解得x，kZ函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，解得+2k，kZ当k=0时，故选A10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上
13、，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的表面积为（）A4B12C16D64【考点】球的体积和表面积【分析】由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，知BC=，ABC=90故ABC截球O所得的圆O的半径r=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积【解答】解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，BC=，ABC=90ABC截球O所得的圆O的半径r=1，球O的半径R=2，球O的表面积S=4R2=16故选C11已知F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1的直
14、线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义算出AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由ABF2是等边三角形得F1AF2=120，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|=2a，ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|BF1|BF2|=2a，即|BF1|AB|=|AF1|=2a又|AF2|AF1|=2a，|AF2|=|AF1|+2a=4a，AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，F1AF
15、2=120|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cos120即4c2=4a2+16a222a4a（）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e=故选：B12已知函数f（x）=x33x，过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（）A（3，2）B（2，3）C（2，1）D（1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】先将过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x33x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x33x2+m+3，g（x）=6
16、x26x=6x（x1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围【解答】解：由题意得：f（x）=3x23，设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=3x023=，即2x033x02+m+3，由条件知该方程有三个实根，方程2x33x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x33x2+m+3，g（x）=6x26x=6x（x1）令g（x）=0，x=0或1，则x，g（x），g（x）的变化情况如下表x（，0）0（0，1）1（1，+）g（x）+00+g（x）递增极大递减极小递增当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2，由题意有，当且仅当即时，函数g（x）有三个
17、不同零点，此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线故m的范围是（3，2）故选A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为4故答案为：414袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件
18、发生的概率【分析】这2只球颜色不同的对立事件是两只球颜色不同，由此能求出这2只球颜色不同的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=10，这2只球颜色不同的对立事件是两只球颜色不同，这2只球颜色不同的概率：p=1=故答案为：15x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为2或1【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，将z=yax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=yax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+
19、z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2x平行，故a=2或1；故答案为：2或116若tan=3tan37，则的值是2【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简所给的式子，求得要求式子的值【解答】解：tan=3tan37，则=2，故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.17已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d=2，S10=120（1）求an；（2）若bn=，求数列bn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）通过公差d=2可知S10=10a1+2=120，进
20、而可知数列an是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知an=2n+1，通过分母有理化、裂项可知bn=（），并项相加即得结论【解答】解：（1）依题意，S10=10a1+2=120，解得：a1=3，数列an是以3为首项、2为公差的等差数列，an=3+2（n1）=2n+1；（2）由（1）可知an=2n+1，bn=（），Tn=（+）=（）18在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且a2b2c2=bc（1）求cosC的值（2）若a=5，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由余弦定理可得：cosA=，可得sinA=，可得cosC=cos（A
21、+B）=cosAcosBsinAsinB（2）由（1）可得：sinC=，在ABC中，由正弦定理可得：，可得c=，可得sinB【解答】解：（1）在ABC中，由余弦定理可得：cosA=，sinA=，cosC=cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=（2）由（1）可得：sinC=，在ABC中，由正弦定理可得：，可得c=8，sinB=1019某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利
22、用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =【考点】线性回归方程【分析】（）根据题目中的数据，计算、与和（ti）（yi）的值，利用公式求出与的值，写出线性回归方程；（）根据线性回归方程中=0.50，得出结论是人均纯收入逐年增加以及平均每年增加的值，将2017年的年份t的值代人线性回归方程，求出的值，即可预测该地区2017年的农村家庭人均纯收入【解答】解：（）根据题目中的数据，得；=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4
23、+4.8+5.2+5.9）=4.3，=9+4+1+0+1+4+9=28，（ti）（yi）=（3）（1.4）+（2）（1）+（1）（0.7）+00.1+0.5+20.9+31.6=14；=0.5，=4.30.54=2.3，y关于t的线性回归方程是=0.5t+2.3；（）根据（）中的线性回归方程， =0.50，得出2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2017年的年份t=11代人线性回归方程，得=0.511+2.3=7.8，预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元20如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面
24、ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30，若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（1）以D为坐标原点，DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）假设在线段AN上存在点F，使FE与平面AMN所成角为30，设=（0，），（01），利用向量法推导出与01矛盾，从而在线段AN上不存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30【解答】解：（1）如图，以D为坐标原点，
25、DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），N（1，1，1），E（，1，0）， =（1，0，1），=（，0，1），=（1，0，1），|cos|=，异面直线NE与AM所成角的余弦值为（2）不存在F，使EF与平面AMN所成角为30，假设在线段AN上存在点F，使FE与平面AMN所成角为30，设=（0，），（01），又=（），=（），设平面AMN的一个法向量=（x，y，z），=（1，0，1），=（0，1，1），则，取z=1，得=（1，1，1），点F使得FE与平面AMN所成角为30，sin
26、30=|cos|=，解得与01矛盾，在线段AN上不存在点F，使得FE与平面AMN所成角为3021已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求PF1Q内切圆面积最大时实数的值【考点】椭圆的应用【分析】（1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为，且椭圆经过点，结合a2=b2+c2，求出a2=4，b2=3，从而可求椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，确定当直线PQ与x轴垂直时最大，进而可求PF1Q内切圆面积最大时实数的值【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（ab0），则椭圆的离心率为，且椭圆经过点，又a2=b2+
27、c2，a2=4，b2=3，（2）显然直线PQ不与x轴重合当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F1F2|=2，；当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：x=ky+1，k0代入椭圆C的标准方程，整理，得（3+4k2）y2+6ky9=0，令t=3+4k2，由上，得当直线PQ与x轴垂直时最大，且最大面积为3 设PF1Q内切圆半径r，则S=4r3，即，此时直线PQ与x轴垂直，PF1Q内切圆面积最大22已知函数f（x）=（2a）x2lnx+a2，g（x）=xe1x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0（0，e，方程f（x）=g（x0）在（0，e上总存在两个不等
28、的实根，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）f（x）0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x（0，）时f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（2）求出g（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a2时，求出f（x）=0时x的值，根据x（0，e列出关于a的不等式得到，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到和，令中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导
29、函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒成立和解出得到，联立和即可解出满足题意a的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x（0，），f（x）0恒成立，即对x（0，），a2恒成立令l（x）=2，x（0，），则l（x）=，再令m（x）=2lnx+2，x（0，），则m（x）=0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）m（）=22ln20，从而，l（x）0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）l（）=24ln2，故要使a2恒成立，只要a24ln2，+），综上
30、，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为24ln2；（2）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（1，e时，g（x）0，函数g（x）单调递减又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函数g（x）在（0，e上的值域为（0，1当a=2时，不合题意；当a2时，f（x）=2a=，x（0，e当x=时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故0e，即a2此时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x（0，）（，ef（x）0+f（x）最小值又因为，当x0时，2a0，f（x）+，f（）=a2ln，f（e）=（2a）（e1）2，所以，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不等的实根，使得f（x）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即，令h（a）=a2ln，a（，2），则h（a）=12ln2ln（2a）=1=，令h（a）=0，得a=0或a=2，故当a（，0）时，h（a）0，函数h（a）单调递增；当a（0，2）时，h（a）0，函数h（a）单调递减所以，对任意a（，2），有h（a）h（0）=0，即对任意a（，2）恒成立由式解得：a2综合可知，当a（，2时，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的两个不等的实根使f（x）=g（x0）成立2016年8月4日
