1、第48讲 双曲线 第48讲 双曲线 1双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做_这两个定点F1，F2叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_ 双曲线的定义用符号语言表示：_ _.知识梳理 第48讲 知识梳理 双曲线 焦点 焦距|MF1|MF2|2a(02a0，b0)，焦点 F1(c,0)，F2(c,0)(2)焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程：_(a0，b0)，焦点 F1(0，c)，F2(0，c)其中 a，b，c 几何意义：a 表示实轴长的一半，b 表示虚轴长的一半，c 表示焦距长的一半并且有 c2a2b2.(3)当
2、ab 时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为 x2y2a2(或 y2x2a2)第48讲 知识梳理 x2a2y2b21 y2a2x2b21 3双曲线的简单几何性质以x2a2y2b21(a0，b0)为例 如图 481，补全各空(1)范围：_；(2)对称性：对称轴为 x 轴、y 轴，对称中心为 O(0,0)；(3)顶点：_，实轴长A1A2 2a，虚轴长B1B22b；(4)离心率 eca，e1.e 越_，双曲线越_；e越大，双曲线越_(5)双曲线的渐近线方程：_ .第48讲 知识梳理|x|a，yR A1(a,0)，A2(a,0)小扁 开阔 yx 第48讲 知识梳理 要点探究 探究点1 双曲线的定义第48讲
3、 要点探究 例 1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚 4 s已知各观测点到该中心的距离都是 1020 m，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 340 m/s，相关各点均在同一平面上)第48讲 要点探究 思路 建立平面直角坐标系，将正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚 4 s 转化为距离差，由此可联想到双曲线的定义，利用双曲线的定义求解 第48讲 要点探究 解答 以接报中心为原点 O，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系设 A，B，C 分别是西、东、北观测点，则
4、 A(1020,0)，B(1020,0)，C(0,1020)设 P(x，y)为巨响发生点，由 A，C 同时听到巨响，得|PA|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为yx.因 B 点比 A 点晚 4 s 听到爆炸声，故|PB|PA|34041360.第48讲 要点探究 由双曲线定义知 P 点在以 A，B 为焦点的双曲线x2a2y2b21 上，依题意得 a680，c1020，b2c2a210202680253402，故双曲线方程为 x26802y2534021.用 yx 代入上式，得 x680 5，由|PB|PA|，得 x680 5，y680 5，即 P(680 5，68
5、0 5)，所以|PO|680 10.故巨响发生在接报中心的西偏北 45，距中心的距离是680 10 m 处 第48讲 要点探究 点评 本题通过时间差转化为距离差，自然联想到双曲线定义.利用双曲线定义解题，关键是看能否将题设条件通过推理、转化，变成符合双曲线定义的问题，如果符合双曲线定义，还要判断是完整双曲线还是双曲线的某一支，也即是讨论双曲线定义式中的绝对值问题.如下面的变式题：第48讲 要点探究 设 P 是双曲线x2a2y291 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1、F2分别是左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1 或 5 B2 或 6 C7 D9 【答案】C思路 利
6、用渐近线方程求出a，再根据双曲线定义求解 第48讲 要点探究 解析 将渐近线方程化为 y32x，又 b3，a2.由于 2a43，|PF2|PF1|，根据双曲线的定义有|PF2|PF1|4，|PF2|7.探究点2 双曲线的标准方程第48讲 要点探究 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)两焦点分别为 F1(10,0)，F2(10,0)，点 P(8,0)在双曲线上；(2)已知双曲线过 A(6 2，7)，B(3,2 7)两点，焦点在 y 轴上 思路(1)根据双曲线定义，可求出a，又c10，于是可求出b，从而求得双曲线方程；(2)设出双曲线方程，将已知点坐标代入方程，解方程组即可求得a、b.
7、第48讲 要点探究 解答(1)|PF1|810200218，|PF2|81020022，2a|PF1|PF2|16，a8，又 c10，b2c2a236.焦点在 x 轴上，双曲线方程为x264y2361.第48讲 要点探究(2)根据题意，设双曲线的方程为y2a2x2b21，两点 A(6 2，7)，B(3,2 7)在双曲线上，有 49a272b21，28a29b21，解得 a225，b275，双曲线的标准方程为y225x2751.第48讲 要点探究 点评(1)双曲线标准方程的确定，一要考虑焦点所在的坐标轴从而确定方程形式；二要根据两个独立条件求出 a2、b2.并且注意 a0，b0，a2b2c2及它
8、们的含义(2)在解题过程中要熟悉各元素(a，b，c，e)之间的关系，做到灵活转换，注意方程思想的使用如果已知双曲线的渐近线：bxay0，则可设双曲线方程为 b2x2a2y2(0)；如果双曲线过两个已知点，则可设方程为 mx2ny21(mn0)第48讲 要点探究 1 求中心在原点，一条渐近线方程为 2xy0，且经过点(2，2)的双曲线的标准方程 思路 设双曲线方程为b2x2a2y2(0)的形式 第48讲 要点探究 解答 设双曲线方程为 4x2y2(0)，将点(2，2)代入该方程，解得 4，所以所求双曲线方程为 4x2y24，即x2y241.第48讲 要点探究 2 双曲线经过两点 P(3，1)和
9、Q(2，2)，求双曲线的标准方程 思路 设双曲线方程为mx2ny21(mn0)的形式 第48讲 要点探究 解答 设方程为 mx2ny21(mn1，得 e 512，选 D.探究点4 双曲线的综合应用第48讲 要点探究 例 4 2009陕西卷 已知双曲线 C 的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，离心率 e 52，顶点到渐近线的距离为2 55.(1)求双曲线 C 的方程；(2)如图 482 所示，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB，13，2，求AOB 面积的取值范围 第48讲 要点探究 第48讲 要点探究 解答(1)由题意知
10、，双曲线 C 的顶点(0，a)到渐近线 axby0 的距离为2 55，所以aba2b22 55，所以abc 2 55，由 abc 2 55，ca 52，c2a2b2，得 a2，b1，c 5.所以曲线 C 的方程是y24x21.第48讲 要点探究(2)解法一：由(1)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y2x.设 A(m,2m)，B(n,2n)，m0，n0.由AP PB得 P 点的坐标为m n1，2m n1，将 P 点的坐标代入y24x21，化简得 mn124，设AOB2，则 tan2 2，tan 12，sin2 45，又|OA|5m，|OB|5n，所以 SAOB12|OA|OB|sin2 2mn
11、12 1 1，第48讲 要点探究 记 S()12 1 1，13，2，则 S()121 12，由 S()0 得 1.又 S(1)2，S13 83，S(2)94.所以当 1 时，AOB 面积取到最小值 2，当 13时，AOB 面积取到最大值83.所以AOB 面积的取值范围是2，83.第48讲 要点探究 解法二：设直线 AB 的方程为 ykxm，由题意知|k|0.由 ykxm，y2x，得 A 点的坐标为m2k，2m2k，由 ykxm，y2x，得 B 点的坐标为m2k，2m2k，AP PB，得 P 点的坐标为 m1 12k 2k，2m1 12k 2k，第48讲 要点探究 将 P 点的坐标代入y24x2
12、1，得 4m24k22，设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为(0，m)SAOBSAOQSBOQ.12|OQ|xA|12|OQ|xB|12m(xAxB)12mm2k m2k 12 4m24k2 第48讲 要点探究 12 1 1，则 S()121 12，由 S()0 得 1.又 S(1)2，S13 83，S(2)94，所以当 1 时，AOB 面积取到最小值 2，当 13时，AOB 面积取到最大值83.所以AOB 面积的取值范围是2，83.第48讲 要点探究 点评 本题考查了双曲线方程的求解，属于基本题型，待定系数法即可解决；又结合向量考查了函数的值域问题第(2)问的主要思想是
13、面积函数的建立，关键是要写出关于 的函数，要做到这一点，需要事先引入变量，通过题目条件来得到变量之间的线性关系，结合消元的方法将多变量转化为单一变量问题去解决这是解析几何类综合问题的考查热点 规律总结 第48讲 规律总结 1在利用双曲线的定义时，应特别注意定义中“差的绝对值”这一条件，弄清是指整条双曲线还是双曲线的一支 2求双曲线标准方程的方法：(1)定义法，根据题目条件，若满足双曲线定义，求出 a、b、c，即可求出方程(2)待定系数法，步骤：定位，确定焦点位置；设方程，由焦点位置设方程；定值，根据条件求出相关参数待定系数法求双曲线方程的几种常用方法：与双曲线 b2x2a2y21 有相同的渐近
14、线或渐近线为 bxay0 的双曲线可设为 b2x2a2y2(0)；若双曲线过两个已知点，则可设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)第48讲 要点探究 3双曲线的几何性质问题：(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 第48讲 要点探究(2)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时，应选画出它的渐近线同时要熟练掌握以下内容：已知双曲线，求渐近线若双曲线方程为x2a2y2b21，则渐近线方程为xayb0；若双曲线的渐近线方程为xayb0，则双曲线方程可设为x2a2y2b2k(k0)；渐近线斜率与离心率的关系：kba c2a2ac2a21 e21.
