1、2011届高考数学百题精炼系列63 下列结论错误的是（ ）A命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题;B命题，命题则为真;C“若则”的逆命题为真命题;D若为假命题，则、均为假命题【答案】C【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。【解析】根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题是真命题，命题是假命题，故为真命题，选项B中的结论正确；当时，故选项C中的结论不正确；选项D中的结论正确。【考点】常用逻辑用语【点评】本题属于以考查知识点为主的试题，要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。4求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A B C D【答案】B 【分析】根据定
2、积分的几何意义，确定积分限和被积函数。【解析】两函数图象的交点坐标是，故积分上限是，下限是，由于在上，故求曲线与所围成图形的面。6如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）ABCD【答案】B 【分析】可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断。【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B。【考点】空间几何体、导数及其应用。【点评】本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这是一种回归基本概念的
3、考查方式，值得注意。7设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）若，则与相交 若则若|，|，则 若|，则|A1 B2 C3 D4【答案】C 【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理，平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果不共线，那么的充要条件是且。9把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为，则（ ）A B C D【答案】B 【分析】根据变换的结果，逆行变换后即可得到经过变换后的函数解析式，通过比较即可确定
4、的值。【解析】把图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍得到的函数解析式是，再把这个函数图象向右平移，得到的函数图象的解析式是，与已知函数比较得。【考点】基本初等函数。【点评】本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式是比较有新义的。本题也可以根据比较系数的方法求解，根据已知的变换方法，经过两次变换后函数，即被变换成，比较系数也可以得到问题的答案。10是的零点，若，则的值满足（ ）A B C D的符号不确定【答案】B 【分析】函数在上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在上这个函数的函数值小于零，即。【考点】函数的应用。【点评】在定义域上单调的函数如果有零
5、点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。11设，当0时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A（0,1） B C D【答案】D 【分析】函数是奇函数且是单调递增的函数，根据这个函数的性质把不等式转化成一个具体的不等式。根据这个不等式恒成立，【解析】根据函数的性质，不等式，即，即在上恒成立。当时，即恒成立，只要即可，解得；当时，不等式恒成立；当时，只要，只要，只要，这个不等式恒成立，此时。综上可知：。【考点】基本初等函数。【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用，这里函数性质是隐含在函数解析式中的，其目的是考
6、查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识。在不等式的恒成立问题中要善于使用分类参数的方法解决问题，本题的解析是分类了函数，把参数放到一个表达式中，也可以直接使用分离参数的方法求解，即可以化为，当时，；当时，只要即可，即只要即可。综合两种情况得到。12已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为 （ ） A B C D 【答案】B 【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。第卷（非
7、选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13已知向量和的夹角为，则【答案】【分析】根据向量模的含义，讲已知代入即可。【解析】，故。【考点】平面向量。【点评】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念，其中主要的考查点是，这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几何意义，通过余弦定理解决，实际上我们在【解析】中的计算式就是余弦定理的计算式。14 已知实数的最小值为 【答案】。【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取
8、得最小值。【考点】不等式。【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。15在中，若，则外接圆半径运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径= 【答案】。【分析】三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球，与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。【解析】作一个在同一个顶点处棱长分别为的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，
9、故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径。【考点】推理与证明。【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中类比推理，不会设计成漫无目标的类比推理试题，而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑。16如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点，将沿折成正四面体，则四面体中异面直线与所成的角的余弦值为 【点评】本题考查空间想象能力、考查求异面直线角。在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧的一个技巧就
10、是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧。三、解答题（共6小题，70分，须写出必要的解答过程）17（本小题满分12分）在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；（2）若数列的前项和为，且，求【分析】（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。【解析】（1）因为点在函数的图像上，所以故数列是公比的等比数列因为由于数列的各项均为负数，则所以6分（2）由（
11、1）知，所以12分【考点】数列。【点评】本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。18（本小题满分12分）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（2sinB，2-cos2B），,（1）求角B的大小；（2）若，b=1，求c的值【分析】根据向量关系式得到角的三角函
12、数的方程，解这个方程即可求出角，根据余弦定理列出关于的方程，解这个方程即可。【解析】（1） 2分 （2）， 8分19（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。【解析】 方法一：（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行
13、四边形，故因为平面，平面，所以平面6分DABEFCHG（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，DABEFCyzx所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面6分（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据
14、可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。20（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定（1）当时，求机动车车速的变化范围；（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大【分析】（1）把代入，解这个关于的不等
15、式即可；（2）根据满足的不等式，以最小车距代替，求此时的最值即可。【解析】（1） =av2, v=25, 025时, Q=, 当v=50时Q最大为12分【点评】不等式【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。21（本小题满分12分）设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，方程有唯一实数解，求正数的值【
16、分析】（1）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数的导数在小于或者等于恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解。【解析】（1）依题意，知的定义域为（0，+），当时，（2）令=0，解得（）因为有唯一解，所以，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值4分（2），当时，在（0，）上单调递减，当时，在（，+）单调递增当时，=0，取最小值（12）则既所以，因
17、为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的解为，即，解得12分【考点】导数及其应用。【点评】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面。本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点
18、满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的【解析】中的方程组，由这个方程组求解使用了构造函数通过函数的性质得到的方法也是值得仔细体会的技巧。四、选做题（本小题满分10分。请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22选修41：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的平分线并交AE于点F、交AB于D点，则ADF=？【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解。【解析】设，根据弦切角定理，.根据三角形外角定理，.根据三角形内角和定理，. （3分）由于是的内角平分线，所以. （
19、5分）再根据三角形内角和定理，. （7分）根据对顶角定理，.由于，所以. （10分）【考点】几何证明选讲。【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量。解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系。23选修44：坐标系与参数方程直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。（1）求圆心C到直线的距离；（2）若直线被圆C截的弦长为的值。【分析】把直线的参数方程化为普通方程、把圆的极坐标方程化为直角坐标方程后，利用点到直线的距离公式以
20、及直线内圆所截得的弦长公式进行计算即可。【解析】（1）把化为普通方程为 2分把化为直角坐标系中的方程为 4分圆心到直线的距离为 6分（2）由已知 8分， 10分【考点】坐标系与参数方程。【点评】解答坐标系与参数方程类试题时，如果试题中既有参数方程也有极坐标系方程，一般是把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，把问题归结为熟悉的直角坐标问题加以解决。24选修45：不等式选讲已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于。【解析】（I）原不等式等价于或 3分解，得即不等式的解集为 6分（II） 8分 10分【考点】不等式选讲【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。
