1、7.2 复数的四则运算 第七章 复数 学习目标 1.能进行复数代数形式的四则运算.2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.知识梳理 1.复数的加法法则设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR）是任意两个复数，那么它们的和（a+bi）+（c+di）（a+c）+（b+d）i.（1）两个复数相加，类似于两个多项式相加.（2）复数的加法满足交换律、结合律.（3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形.2.复数加法的几何意义 一.复数的加法 设1OZ，2OZ 分别与复数a+b
2、i，c+di对应，则两个向量1OZ 与2OZ 的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1（向量1OZ 与2OZ 不共线时），这就是复数加法的几何意义（就是向量加法的平行四边形法则）.图7.2-1二.复数的减法 1.复数的减法法则（a+bi）-（c+di）（a-c）+（b-d）i.2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部部分分别相加（减）两个复数z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR）在复平面内对应的向量分别是1OZ，2OZ，那么这两个复数的差z1-z2对应的向量是1OZ-2OZ，即向量21Z Z.如果作OZ 21Z
3、Z，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所示），即复数（a-c）+（b-d）i对应的向量.这是复数减法的几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.4.复数减法的几何意义 三.复数的乘法 1.复数的乘法法则设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）（ac-bd）+（ad+bc）i.两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有（1）交换律：z1z2z2z1，（2）结合律：（z1z2）z3z1（z2z3），（3）分配律：z1（z2+z
4、3）z1z2+z1z3.请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2，z1z2分别是怎样的数？提示：设z1a+bi，则z2a-bi（a，bR），从而z1+z2（a+bi）+（a-bi）2aR.z1-z2（a+bi）-（a-bi）2bi，z1z2（a+bi）（a-bi）a2+b2R.即 zz|z|2|z|2|z2|这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个性质.二、复数的除法 复数除法的法则（a+bi）（c+di）22acbdcd+22bcadcdi（a，b，c，dR，且c+di0）.说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）（c+di）写成 abicdi的形式，再把分子与
5、分母都乘分母的共轭复数 c-di（使分母“实数化”），化简可得上面的结果.一.复数的加、减运算 常考题型 复数的加法与减法运算例1（1）1132 i+（2-i）-4332 i.（2）已知复数z满足z+1-3i5-2i，则z.【解析】（1）1132 i+（2-i）-4332 i 14233+13122 i1+i.（2）方法一：设zx+yi（x，yR），因为z+1-3i5-2i，所以x+yi+（1-3i）5-2i，即x+15且y-3-2，解得x4，y1，所以z4+i.方法二：因为z+1-3i5-2i，所以z（5-2i）-（1-3i）4+i.【答案】（1）1+i（2）4+i训练题12019天津重点中
6、学高三联考已知z13+i，z21+5i，则复数zz2-z1对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限训练题22019福建厦门高三模拟已知|z|3，且z+3i是纯虚数，则z .2.答案：3i解析：设zx+yi（x，yR），x2+y232，且z+3ix+yi+3ix+（y+3）i是纯虚数，03.xy，z3i.1.答案：B解析：zz2-z1（1+5i）-（3+i）-2+4i.【技巧点拨】进行复数加、减运算时：（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.（2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项.（3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.【注意】（1
7、）复数za+bi（a，bR）对应的点为（a，b）.（2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设za+bi（a，bR）.复数加、减法的几何意义 例2.如图7-2-1，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.图7-2-1（1）求 AO 表示的复数；（2）求CA表示的复数；（3）求B点对应的复数.【解题提示】（1）利用 AO-OA求解.（2）根据CAOA-OC求解.（3）根据OB OA+OC 求解.【解】（1）AO-OA，AO 表示的复数为-（3+2i），即-3-2i.（2）CAOA-OC，CA表示的复数为（3+2i）-（-2+4i）5-2i
8、.（3）OB OA+AB OA+OC，OB 表示的复数为（3+2i）+（-2+4i）1+6i.即B点对应的复数为1+6i.训练题3 如图7-2-2，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶 点 A，B，C分 别 对 应 复 数 zA 1+2i，z B-2+i，zC-1-2i，则顶点D对应的复数为.图7-2-23.答案：2-i解析：（方法一）设D（x，y），则 AD OD-OA（x，y）-（1，2）（x-1，y-2）.BC OC-OB（-1，-2）-（-2，1）（1，-3）.AD BC，（x-1，y-2）（1，-3），2,1.xy 点D对应的复数为2-i.（方法二）ABCD为正方形，A，C关于原点O
9、对称，O为正方形ABCD的中心.设D（x，y），则2010 xy ，21xy，点D对应的复数为2-i.训练题 42019广东深圳高级中学高二期末在复平面内，O 是原点，OA，OC，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么 BC 对应的复数为.4.答案：4-4i解析：BC-（OA-OC+AB），BC 对应的复数为-2+i-（3+2i）+（1+5i）-（-2-3+1）+（1-2+5）i-（-4+4i）4-4i.训练题52019湖北孝感高二检测已知zC，且|z+3-4i|1，求|z|的最大值与最小值.5 解：由于|z+3-4i|z-（-3+4i）|1，所以在复平面上，复数z对应的点Z
10、与复数-3+4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为圆心，半径等于1的圆，如图D-7-2.而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|5，所以点Z到原点O的最大距离为5+16，最小距离为5-14.即|z|max6，|z|min4.图D-7-2【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题（1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.（2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.（3）注意向量 AB 对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）
11、.（4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、减运算与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方法.（5）向量 AB 在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点A对应的复数.【名师点拨】（1）|z-z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.（2）|z-z0|r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹为以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.（3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式入手进行分析判断，然后运用数形结合的方法进行求解.二 复数的乘、除运算 复数的乘法运算例3（1）2019北京卷已知复数z2+i，则zz （）A.3B.5C.3D.5（2
12、）若|z1|5，z23+4i，且z1z2是纯虚数，则z1.【解析】（1）方法一：z2+i，z 2-i，zz（2+i）（2-i）5.方法二：z2+i，|z|22215，zz|z|25.（2）设z1a+bi（a，bR），则|z1|22ab5，即a2+b225，z1z2（a+bi）（3+4i）（3a-4b）+（3b+4a）i.z1z2是纯虚数，22340,340,25,abbaab解得4,3ab 或4,3.ab z14+3i或z1-4-3i.【答案】（1）D（2）4+3i或-4-3i训练题62019湖北八校高三二联已知a，bR，i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2（）A.5
13、-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i6.答案：D解析：由题意知a-i2-bi，a2，b1，（a+bi）2（2+i）23+4i.训练题72019江西赣州中学高三检测复数z（3-2i）i的共轭复数 z 等于（）A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i7.答案：C解析：z（3-2i）i3i-2i22+3i，z 2-3i.【方法点拨】（1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.（2）复数模的一个常用性质：|z|2|z|2|z2|zz.（3）常用运算技巧（a+bi）2a2+2abi-b2（a，bR）；（a+bi）（a-
14、bi）a2+b2（a，bR），即z z|z|2；（1i）22i.复数的除法运算例4.（1）32(1)(1)ii（）A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i（2）2019全国卷若z（1+i）2i，则z（）A.-1-iB.-1+iC.1-i D.1+i【解析】（1）方法一：32(1)(1)ii2(1)(1)2iii2(1)(12)2iiii222ii 1 ii-1-i.方法二：32(1)(1)ii211ii（1+i）i2（1+i）-（1+i）-1-i.（2）方法一：z（1+i）2i，z 21ii 2(1)(1)(1)iiii 2(1)2i 1+i.方法二：（1+i）22i，z 21ii 2(
15、1)1ii1+i.方法三：2i（1+i）2，由z（1+i）2i（1+i）2，消去1+i，得到z1+i.【答案】（1）D（2）D训练题82019广西桂林高三一模满足 ziz i（i为虚数单位）的复数z（）A.12+12 iB.12-12 iC.-12+12 iD.-12-12 i8.答案：B解析：（方法一）ziz i，z+izi，iz（i-1），z1ii (1)(1)(1)iiii 12i 12-12 i.（方法二）ziz i，（1-i）2-2i，z1ii 22(1)ii2(1)2(1)ii 12（1-i）12-12 i.训练题 92019辽宁营口开发区第一高中高二月考设 z1a+2i，z23-
16、4i，且12zz 为纯虚数，则实数 a 的值为.9.答案：83解析：设12zz bi（bR且b0），则z1biz2，即a+2ibi（3-4i）4b+3bi，所以4,23,abb 解得832.3ab ，训练题10 2019河南郑州一中高二月考已知复数z1（-1+i）（1+bi），z221aii，其中a，bR.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.10 解：z1（-1+i）（1+bi）-1-bi+i-b（-b-1）+（1-b）i，z221aii(2)(1)(1)(1)aiiii222aaii 22a +22a i.由于z1和z2互为共轭复数，所以21,22(1),2abab 解得2,1.ab 【思路点拨】进行两个复数的除法运算时：（1）将除式写为分式；（2）将分子、分母同乘分母的共轭复数；（3）将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.【常用运算技巧】进行除法运算时，常用公式：（1）1i-i；（2）11ii i；（3）11ii-i.一般地，baiabi ()i abiabii（a+bi0）.
