1、宁夏吴忠市2021届高三数学4月模拟试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1设集合Ax|x2x20，Bx|0x4，则（RA）B（）Ax|0x4Bx|0x2Cx|x2Dx|x42已知i为虚数单位，aR，若复数为纯虚数，则a（）ABC2D23已知命题p：xR，cosx1，则p为（）AxR，cosx1BxR，cosx1CxR，cosx1DxR，cosx14在一组数据中，若2，4，6，8出现的频率分别为0.2，0.3，0.4，0.1，则该组数据的方差为（）A3.36B4.5C5.92D6.185如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若（，R），则+等于（）A1B1CD6
2、如图，PA面ABC，ACB90，且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于（）A2BCD7已知函数f（x）ln（x2）+ln（4x），则（）Af（x）的图象关于直线x3对称Bf（x）的图象关于点（3，0）对称Cf（x）在（2，4）上单调递增Df（x）在（2，4）上单调递减8复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车2019年12月30日，CR400BFC智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每
3、平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L10lg（aI），已知I1013W/m2时，L10dB若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强应变为原声强的（）A105倍B104倍C103倍D102倍9已知实数x，y满足约束条件，则z的最小值为（）ABC2D310将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数f（x）在的值域为（）ABCD1，111已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）f（2x），当x0，2时，f（x）4x，则f（）（）A8B6C4D412已知l1，l2是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且l
4、l1，l交T于点M，交y轴于点Q，若3，则双曲线T的离心率等于（）ABC2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为a，则使方程ax24x+10有解的概率为 14过抛物线y22px（p0）的焦点F作斜率为的直线l，与该抛物线交于A，B两点，若OAB的面积等于2（O为坐标原点），则p 15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B，b7，D是BC边上的点，AD5，DC3，则c 16执行如图的程序框图，若输出的m的值为3，则输入a的值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作
5、答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17等差数列an中，a24，a5+a615（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+n8，求b1+b2+b3+b10的值18为了有针对性的指导学生锻炼身体，某学校对初一年级学生身体素质进行了综合评估，把学生的身体素质按优劣分为“优、良、合格、差”四个等级同时，级部为了进一步了解导致身体素质出现差别的原因，特随机调查了100名学生每天锻炼身体的时间，整理数据得到如表（单位：人）：锻炼时间（分钟）身体素质等级0，30（30，60（60，90优21625良51012合格6780差720（1）随机抽取该年级一位学生，估计他的身体素质
6、为“优、良、合格、差”的概率；（2）求该年级学生每天锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某学生身体素质为优或良，则称该学生“身体条件好”；若某学生身体素质为合格或差，则称该学生“身体条件一般”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关？时间60分钟时间60分钟身体条件好身体条件一般附：参考数据：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d19如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，且平面P
7、DC平面ABCD，PDPC，若四棱锥PABCD的高等于1（1）求证：平面APD平面BPC；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积20已知函数f（x）lnx+12ax+有两个不同的极值点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围21设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF（1）求E和F的方程；（2）若直线l：yk（x）（k0）与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|BD|？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、
8、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2cos2sin以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和时直线l的普通方程；（2）设点P的坐标为（1，1），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围选修4-5不等式选讲23已知函数f（x）|x2|2|x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）若函数f（x）图象的最高点为（m，n），且正实数a，b满足a+bm+n，求的最小值参考答案一、选择题（共12小题）.1设集合Ax|x2x20，B
9、x|0x4，则（RA）B（）Ax|0x4Bx|0x2Cx|x2Dx|x4解：集合Ax|x2x20x|x1或x2，RAx|1x2，Bx|0x4，（RA）Bx|0x2故选：B2已知i为虚数单位，aR，若复数为纯虚数，则a（）ABC2D2【分析】先利用复数的除法运算将复数化简，然后利用纯虚数的定义求解即可解：因为为纯虚数，所以且，解得故选：B3已知命题p：xR，cosx1，则p为（）AxR，cosx1BxR，cosx1CxR，cosx1DxR，cosx1【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可解：命题是特称命题，则命题的否定是xR，cosx1，故选：C4在一组数据中，若2，4，6，8出现的频
10、率分别为0.2，0.3，0.4，0.1，则该组数据的方差为（）A3.36B4.5C5.92D6.18【分析】先利用平均数的求解公式求出数据的平均数，再由方差的计算公式求解即可解：该组数据的平均值为20.2+40.3+60.4+80.14.8，所以方差为（24.8）20.2+（44.8）20.3+（64.8）20.4+（84.8）20.13.36故选：A5如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若（，R），则+等于（）A1B1CD【分析】先求出，再由+，得到，即可求解解：+（+），+，+，故选：D6如图，PA面ABC，ACB90，且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成
11、的角的正切值等于（）A2BCD【分析】将此多面体补成一个正方体，将PB与AC所成角的大小转化为正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt三角形中，利用边角关系求解即可解：如图，将此多面体补成一个正方体，因为ACBD，所以PB与AC所成角的大小即为此正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小，在RtPBD中，PDB90，PD，DBa，所以tanDBP故选：B7已知函数f（x）ln（x2）+ln（4x），则（）Af（x）的图象关于直线x3对称Bf（x）的图象关于点（3，0）对称Cf（x）在（2，4）上单调递增Df（x）在（2，4）上单调递减解：要使函数有意义，则，得，得2x4，级函数的定义域为（2
12、，4），f（x+3）ln（x+1）+ln（1x），f（3x）ln（1x）+ln（1+x），则f（x+3）f（3x），即函数关于x3对称，故A正确，B错误，函数关于x3对称，故函数在定义域上（2，4）上不具备单调性，故C错误，故D错误，故选：A8复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车2019年12月30日，CR400BFC智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与
13、声强I的函数关系式为L10lg（aI），已知I1013W/m2时，L10dB若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强应变为原声强的（）A105倍B104倍C103倍D102倍【分析】由题意可求出a的值，代入声强级L与声强I的函数关系式，设列车原来的声强级为L1，声强为I1，该列车的声强级降低30dB后的声强级为L2，声强为I2，通过L1L230结合对数的运算性质，即可求出的值解：已知I1013W/m2时，L10dB，所以1010lg（a1013），解得：a1012，L10lg（1012I）10（12+lgI），设列车原来的声强级为L1，声强为I1，该列车的声强级降低30dB后的声强级为
14、L2，声强为I2，则L1L210（12+lgI1）10（12+lgI2）10（lgI1lgI2）10lg30，所以3，解得：，即，即该列车的声强应变为原声强的103倍故选：C9已知实数x，y满足约束条件，则z的最小值为（）ABC2D3【分析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义，即可行域内的动点与定点P连线的斜率求解解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），z的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率，由图可知，可知z的最小值为故选：B10将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数f（x）在的值域为（）ABCD1，1【分析】由题意利用
15、函数yAcos（x+）的图象变换规律，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，得出结论解：将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）cos（2x+）的图象，+，f（x）cos（2x+）当x，2x+（，），故f（x）1，），故选：C11已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）f（2x），当x0，2时，f（x）4x，则f（）（）A8B6C4D4【分析】根据题意，由f（x+2）f（2x）变形可得f（x）f（4+x），结合函数f（x）的奇偶性可得f（x+4）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此分析可得答案解：根据题意，函数f（x）满足f（x
16、+2）f（2x），则有f（x）f（4+x），又由f（x）为偶函数，则f（x）f（x），则有f（x+4）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（）f（）f（+4253）f（）f（）8，故选：A12已知l1，l2是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且ll1，l交T于点M，交y轴于点Q，若3，则双曲线T的离心率等于（）ABC2D3【分析】求解直线方程，推出M的横坐标，通过3求解M坐标，代入双曲线方程，从而可求得e的值解：双曲线的渐近线方程为：yx，直线l经过T的右焦点F，且ll1，由y（xc），令x0，可得yQ，3，可得xM，yM，即点M（，），M坐标代入双曲线方程可得1，即，
17、解得e故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为a，则使方程ax24x+10有解的概率为【分析】a的值可以为1，2，3，4，5，6，由方程有解，求出a4，由此能求出使方程ax24x+10有解的概率解：a的值可以为1，2，3，4，5，6，若方程有解，则（4）24a0，即a4，使方程ax24x+10有解的概率为P故答案为：14过抛物线y22px（p0）的焦点F作斜率为的直线l，与该抛物线交于A，B两点，若OAB的面积等于2（O为坐标原点），则p2【分析】求出抛物线的焦点坐标F（，0），得到直线x2y+，代入抛物线方程可得y24pyp20，设A（x
18、1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合三角形的面积，转化求解p即可解：由题意可知抛物线的焦点坐标F（，0），从而直线l的方程为：x2y+，代入抛物线方程可得y24pyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24p，y1y2p2，OAB的面积等于2，即2，可得2，解得p2故答案为：215在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B，b7，D是BC边上的点，AD5，DC3，则c【分析】由已知在ADC中，由余弦定理可得cosADC，可求ADC，在ABD中，由正弦定理即可求解c的值解：在ADC中，AD5，DC3，bAC7，由余弦定理可得cosADC，所以ADC，在AB
19、D中，AD5，B，ADB，由，可得cAB故答案为：16执行如图的程序框图，若输出的m的值为3，则输入a的值为【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m3的值，模拟程序的运行过程，可判断输入a的值解：第一次执行循环体后，m2m34a9，满足i3，ii+12；第二次执行循环体后，m2m38a21，满足i3，ii+13；第三次执行循环体后，m2m316a45，满足i3，ii+14；第四次执行循环体后，m2m332a93，不满足i3；输出结果为32a93，由题意可得32a933，a故答案为：a三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必
20、考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17等差数列an中，a24，a5+a615（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+n8，求b1+b2+b3+b10的值【分析】（1）由题设求得数列an的公差d，即可求得其通项公式；（2）先由（1）求得bn，再利用分组求和法求得结果解：（1）设等差数列an的公差为d，a5+a615，a2+a915，又a24，a911，d1，ana2+（n2）1n+2；（2）由（1）可得：bn+n82n+n8，b1+b2+b3+b10（2+22+23+210）+（1+2+3+10）80+802112+55802021
21、18为了有针对性的指导学生锻炼身体，某学校对初一年级学生身体素质进行了综合评估，把学生的身体素质按优劣分为“优、良、合格、差”四个等级同时，级部为了进一步了解导致身体素质出现差别的原因，特随机调查了100名学生每天锻炼身体的时间，整理数据得到如表（单位：人）：锻炼时间（分钟）身体素质等级0，30（30，60（60，90优21625良51012合格6780差720（1）随机抽取该年级一位学生，估计他的身体素质为“优、良、合格、差”的概率；（2）求该年级学生每天锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某学生身体素质为优或良，则称该学生“身体条件好”；若某学生身体素质为合
22、格或差，则称该学生“身体条件一般”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关？时间60分钟时间60分钟身体条件好身体条件一般附：参考数据：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d【分析】（1）利用频率约等概率可估计学生的身体素质为“优、良、合格、差”的概率；（2）利用频率分布直方图估计平均值的定义可得该年级学生每天锻炼时间的平均值；（3）根据题目所给的数据填写22列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论解：（1）由频数分
23、布表可知，该年级每位学生身体素质为优的概率为：0.43；身体素质为良的概率为：0.27；身体素质为合格的概率为：0.21；身体素质为差的概率为：0.09；（2）由频数分布表可知，该年级学生每天锻炼时间的平均值为：52.5；（3）22列联表如下：时间60分钟时间60分钟身体条件好3337身体条件一般228K25.8023.841所以有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关19如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，且平面PDC平面ABCD，PDPC，若四棱锥PABCD的高等于1（1）求证：平面APD平面BPC；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积【
24、分析】（1）取DC中点O，连接PO，证明PO平面ABCD，进一步证明DPCP，再由已知结合平面与平面垂直的性质得BC平面PDC，可得BCPD，由线面垂直的判定可得PD平面PBC，从而得到平面APD平面BPC；（2）连接AC，BD相交于点Q，连接PQ，OQ，求解三角形可得QAQBQCQDQP，则点Q为四棱锥PABCD外接球的球心，再由球的体积公式求解即可解：（1）证明：如图，取DC中点O，连接PO，PDPC，PODC，平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDDC，PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又DC2，POD为等腰直角三角形，则DPO45，同理CPO45，DPC90，即D
25、PCP，平面PDC平面ABCD，且BCCD，平面PDC平面ABCDDC，BC平面ABCD，BC平面PDC，PD平面PDC，BCPD，BCPCC，PD平面PBC，PD平面PDA，平面APD平面BPC；（2）连接AC，BD相交于点Q，连接PQ，OQ，ABCD为正方形，且边长为2，QAQBQCQD，OQ，由（1）可知，PO底面ABCD，POQ90，PO1，PQ，QAQBQCQDQP，点Q为四棱锥PABCD外接球的球心所求外接球的体积为V20已知函数f（x）lnx+12ax+有两个不同的极值点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围【分析】（1）先对函数求导，然后
26、结合导数与单调性，极值的关系，及二次方程的根的存在条件可求；（2）根据导数与极值的关系可求函数极大与极小值的和为lna4a+2，然后结合导数研究该函数的单调性，进而可求取值范围解：（1）因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且x0，x20，所以x2x+a0有两个不同的正根，故（2）因为x1x2a，x1+x21，不妨设x1x2，所以f（x）极小值f（x1），f（x）极大值f（x2），所以lna+24a令（a）lna4a+2，则，所以（a）在上单调递增，所以，即f（x）的极大值与极小值之和的取值范围是（，2ln2+1）21设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），且离心率为，F为E的右焦
27、点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF（1）求E和F的方程；（2）若直线l：yk（x）（k0）与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|BD|？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由【分析】（1）根据离心率可得，代入a2b2+c2得a2b，再代点即可得出E的方程，再求出点F、P的坐标，从而求出圆F的方程；（2）设出C、D的坐标，求出|CF|、|DF|，根据条件得到|AB|CD|1，利用韦达定理代入即可得到结论解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为，椭圆的离心率e，a2b2+c2，a2b，将点（1，）代入椭圆的方程得：，联立a2b解得：，椭圆E的方程为：
28、，F（），PFx轴，P（），F的方程为：；（2）由A、B在圆上得|AF|BF|PF|r，设C（x1，y1），D（x2，y2）|CF|1同理：，若|AC|BD|，则|AC|+|BC|BD|+|BC|，即|AB|CD|1，4，由得，41得12k212k2+3，无解，故不存在（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2cos2sin以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和时直线l的普通方程；（2）设点P的坐标
29、为（1，1），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值解：（1）曲线C的极坐标方程是2cos2sin整理得22cos2sin，根据转换为直角坐标方程为x2+y2+2x+2y0直线l的参数方程为（t为参数），当时，转换为（t为参数），转换为直角坐标方程为（2）把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2+2x+2y0，得到t2+4（cos+sin）t+60，由于16（cos+sin）2240，解得所以，故|PA|+|PB
30、|选修4-5不等式选讲23已知函数f（x）|x2|2|x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）若函数f（x）图象的最高点为（m，n），且正实数a，b满足a+bm+n，求的最小值【分析】（1）利用零点分段去绝对值，即可求解不等式 f（x）2 的解集（2）先求出a+b2，再利用1的代入求解即可解：（1）当x3时，f（x）2x+2（x+3）x+82，x6，即6x3，当3x2时，f（x）2x2（x+3）3x42，x2，即3x2，当x2时，f（x）x22（x+3）x82，x10，无解，综上所述，不等式的解集为6，2（2）由（1）得，当6x3时，f（x）x+82，5，当3x2时，f（x）3x4（10，3），当x2时，f（x）x8（，10，f（x）图象的最高点为（3，5），m3，n5，a+b2，+（+）（a+b）（a2+b2+）（a2+b2+2）（a+b）22当且仅当ab1时取等号，+的最小值为2
