1、第4节 导数与函数的零点考试要求 能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.知 识 梳 理 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.常用结论与易错提醒(1)注意构造函数；(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.诊 断 自 测 1.若函数 f(x)x3x，x0，13x34xa3，x0在其定义域上只有一个零点，则实数 a 的取值范围是()A.(16，)B.16，)C.(，16)D.(，16解析 当x0时，f(x)x3x，yx与y3x在
2、(，0)上都单调递增，f(x)x3x在(，0)上也单调递增，又f(1)0，f(x)在(1，0)内有一个零点.当 x0 时，f(x)13x34xa3，f(x)x24(x2)(x2).令 f(x)0 得 x2 或 x2(舍)，当 x(0，2)时，f(x)0，f(x)递增，在 x0 时，f(x)最小f(x)极小233 8a3，要使 f(x)在(0，)上无零点，需233 8a30，a16.答案 A 2.已知函数 f(x)x2ex12(x0)与 g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是()A.，1eB.(，e)C.1e，eD.e，1e解析 设点 P(x0，y0)(x
3、00)在函数 f(x)上，由题意可知，点 P 关于 y 轴的对称点 P(x0，y0)在函数 g(x)上，所以y0 x20ex012，y0（x0）2ln（x0a），消 y0 可得 x20ex012(x0)2ln(x0a)，即 ex0ln(ax0)120(x00)，所以 e x012ln(ax0)(x00).令 m(x)ex12(x0)，n(x)ln(ax)(x0)，它们的图象如图，当 n(x)ln(ax)过点0，12 时，解得 a e，由图可知，当 a0 在(0，)上恒成立，则 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(0)1，所以此时 f(x)在(0，)内无零点，不满足题意.当 a0 时，由 f(
4、x)0 得 xa3，由 f(x)0 得 0 x0，f(x)单调递增，当 x(0，1)时，f(x)1，2x2mxm258，x1，若 g(x)f(x)m 有三个零点，则实数 m的取值范围是_.解析 g(x)f(x)m 有三个零点，根据题意可得 x1 时，函数有一个零点；x1 时，函数有两个零点.当 x1 时，f(x)ln x1x，f(x)1x1x2x1x2 0 恒成立，f(x)(1，)，故 m1；当 x1 时，f(x)2x2mxm258，要使得 g(x)f(x)m 有两个零点，需满足m2858m2 0，m41，g（1）2mm2580，解得 m5 或 10，所以函数在(0，)上为增函数且 f1e 1
5、1e0，所以当 m0 时，与 g(x)mx有一个公共点，当 m0 时，令 f(x)g(x)，x2xln x2exm 有一解即可，设 h(x)x2xln x2ex，令 h(x)2xln x12e0 得 x1e，即当 x1e时，h(x)有极小值e1e2，故当 me1e2 时有一公共点，故填 m0 或 me1e2.答案 m0 或 me1e2考点一 导数与函数的零点【例1】(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.(1)证明 当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x
6、)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增.故 h(2)14ae2是 h(x)在0，)的最小值.()若 h(2)0，即 ae24，h(x)在(0，)没有零点；()若 h(2)0，即 ae24，h(x)在(0，)只有一个零点；()若 h(2)e24，由于 h(0)1，所以 h(x)在(0，2)有一个零点.由(1)知，当 x0 时，exx2，所以 h(4a)116a3e4a 1 16a3（e2a）21 16a3（2a）411a0.故h(x)在(2，
7、4a)有一个零点.因此h(x)在(0，)有两个零点.综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，ae24.规律方法 利用导数解决函数的零点问题的方法：(1)研究原函数的单调性、极值；(2)通过f(x)0变形，再构造函数并研究其性质；(3)注意零点判定定理的应用.【训练1】(2020镇海中学模拟)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)(2ex1)(aex1)，若a0时，f(x)(2ex1)(aex1)0 时，由 f(x)(2ex1)(aex1)0，得 xln1a，则 f(x)在，ln1a 上为减函数，在ln1a
8、，上为增函数.(2)由 f(x)有两个零点及(1)得 a0，且 fln1a 0，则 fln1a a1a2(a2)1aln1a11aln1a0)，因为 g(t)1tln t 在(0，)上为减函数，且 g(1)0，所以当 t1 时，g(t)1，解得 0a1，所以 a 的取值范围为(0，1).考点二 导数与方程的根【例 2】设函数 f(x)ln xx.(1)令 F(x)f(x)axx(00，所以 m24m0，又 x0，所以 x1m m24m20(舍去)，x2m m24m2.当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上单调递增；当xx2时，g(x2)0，则g(x)取得最小值g(x2).因为
9、g(x)0 有唯一解，所以 g(x2)0，则g（x2）0，g（x2）0，即x222mln x22mx20，x22mx2m0，所以2mln x2mx2m0.因为m0，所以2ln x2x210.(*)设函数h(x)2ln xx1，因为当x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一解.因为 h(1)0，所以方程(*)的解为 x21，即m m24m21，解得 m12.规律方法(1)方程f(x)g(x)根的问题，常构造差函数解决；(2)对f(x)0，如果化为g(x)k(x)后，g(x)，k(x)图象容易画出，可数形结合求解.【训练2】(2020北京通州区一模)已知函数f(x)xex，g(x)a(ex
10、1).aR.(1)当a1时，求证：f(x)g(x)；(2)当a1时，求关于x的方程f(x)g(x)的实根个数.解 设函数F(x)f(x)g(x)xexaexa.(1)证明 当a1时，F(x)xexex1，所以F(x)xex.所以x(，0)时，F(x)0.所以F(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.所以当x0时，F(x)取得最小值F(0)0.所以F(x)0，即f(x)g(x).(2)当a1时，F(x)(xa1)ex，令F(x)0，即(xa1)ex0，解得xa1；令F(x)0，即(xa1)ex0，解得x1，所以h(a)0.所以h(a)在(1，)上单调递减.所以h(a)h(1)0，所以F
11、(a1)0，所以F(x)在区间(a1，a)上存在一个零点.所以在a1，)上存在唯一的零点.又因为F(x)在区间(，a1)上单调递减，且F(0)0，所以F(x)在区间(，a1)上存在唯一的零点0.所以函数F(x)有且仅有两个零点，即方程f(x)g(x)有两个实根.考点三 两曲线的交点(公共点)【例3】记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的
12、值.(1)证明 函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由 f(x)g(x)且 f(x)g(x)，得xx22x2，12x2，此方程组无解，因此，f(x)与 g(x)不存在“S 点”.(2)解 函数 f(x)ax21，g(x)ln x，则 f(x)2ax，g(x)1x.设 x0 为 f(x)与 g(x)的“S 点”，由 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，得ax201ln x0，2ax01x0，即ax201ln x0，2ax201，(*)得 ln x012，即 x0e12，则 a12e122e2.当 ae2时，x0e12满足方程组(*)，即 x0 为 f(x)
13、与 g(x)的“S 点”.因此，a 的值为e2.规律方法(1)两曲线的交点是否存在，可通过方程(组)的解来判断；(2)两曲线的交点个数可转化为方程根或函数零点的个数来判定.【训练 3】设函数 f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中 t1，t2，t3R，且 t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列.(1)若 d3，求 f(x)的极值；(2)若曲线 yf(x)与直线 y(xt2)6 3有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.解(1)由已知可得 f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)39(xt2)x33t2x2(3t229)xt329t2.故 f(x)3x26t2x3t229.
14、令 f(x)0，解得 xt2 3，或 xt2 3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，t2 3)t2 3(t2 3，t2 3)t2 3(t2 3，)f(x)00f(x)极大值 极小值 所以函数 f(x)的极大值为 f(t2 3)(3)39(3)6 3；函数 f(x)的极小值为 f(t2 3)(3)39 36 3.(2)曲线 yf(x)与直线 y(xt2)6 3有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程(xt2d)(xt2)(xt2d)(xt2)6 30 有三个互异的实数解.令 uxt2，可得 u3(1d2)u6 30.设函数 g(x)x3(1d2)x6 3，则曲线 yf(x)与
15、直线 y(xt2)6 3有三个互异的公共点等价于函数 yg(x)有三个零点.g(x)3x21d2.当d21时，g(x)0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意.当 d21 时，令 g(x)0，解得 x1 d213，x2 d213.易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，)上单调递增.g(x)的极大值 g(x1)g d2132 3（d21）3296 30.g(x)的极小值 g(x2)gd2132 3（d21）3296 3.若 g(x2)0，由 g(x)的单调性可知函数 yg(x)至多有两个零点，不合题意.若 g(x2)27，也就是|d|10，此时|d|x2，g(|d|)|d|6 30，且2|d|x1，g(2|d|)6|d|32|d|6 362 106 30，从而由 g(x)的单调性，可知函数 yg(x)在区间(2|d|，x1)，(x1，x2)，(x2，|d|)内各有一个零点，符合题意.所以，d 的取值范围是(，10)(10，).
