1、2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.2.了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点).基础初探1.恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都能把自身变成自身.因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E.2.伸压变换矩阵M1把平面上每一个点P都沿y轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x轴上的点没变；矩阵M2把平面上每一个点P都沿x轴方向伸长为原来的2倍
2、，只有y轴上的点没变.像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换.3.反射变换(1)反射变换的概念像，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形F的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.(2)反射变换的分类与矩阵M1对应的变换是关于x轴的轴反射变换.与矩阵M2对应的变换是关于y轴的轴反射变换.与矩阵M3对应的变换是关于原点的中心反射变换.与矩阵M4对应的变换
3、是关于直线yx的轴反射变换.4.线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.思考探究1.设单位向量i(0，1)，j(1，0)，以i，j为邻边的正方形称为单位正方形，则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？【提示】由于Ei，Ej.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形.2.如何理解伸压变换？【提示】伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x轴上方的点垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半
4、，而x轴下方的点也垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动”.类似地，对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将y轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而y轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动”.3.反射变换的作用是什么？【提示】根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：伸压变换的应用求直线y4x在矩阵对应的变换作用下所得的图形. 【导学号：3065001
5、1】【精彩点拨】矩阵对应的是沿y轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹.【自主解答】任意选取直线y4x上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x0，y0)，则有.则有：故又因为点P在直线y4x上，所以y04x0，即有2y04x0.因此y02x0，从而直线y4x在矩阵作用下变成直线y2x.利用伸压变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C与变换矩阵，求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解.(2)已知曲线C是曲线C在伸压变换作
6、用下得到的，求与伸压变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解.(1)若将本例变为：一直线l在矩阵对应的变换作用下变成直线y2x，求该直线的方程.(2)若本例变为：直线y4x在二阶矩阵M对应的沿y轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y2x，试求矩阵M.【解】(1)任意选取直线l上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x0，y0)，则有则有.又因为点P(x0，y0)在直线y2x上，所以y02x0，即有y02x0，因此y04x0，从而求得该直线为y4x.(2)设P(x0，y0)为直线y4x上的任意一点，P(x0，y0)是P(x0，y0)在矩阵
7、M对应的伸压变换作用下得到的点，则此点在直线y2x上.设伸压变换矩阵为(k0)，则有，即所以将其代入y4x中，得4x0y0，即y04kx0.又y02x0，4k2，得k，所以所求矩阵为.反射变换的应用求直线y6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表达式.【精彩点拨】先求出y6x上任意一点P(x0，y0)在矩阵对应的变换作用下得到点P(x0，y0)的坐标，再用代入法求解.【自主解答】任意选取直线y6x上的一点P(x0，y0)，设它在矩阵对应的变换作用下得到的点为P(x0，y0)，则有，所以又因为点P(x0，y0)在直线y6x上，所以y06x0，则有x06y0.所以y0，从而可知直线y6x在矩阵对应
8、的变换作用下变成直线y.求曲线C(或点)在反射变换下得到的曲线C的表达式(或点的坐标)同伸压变换，使用代入法(相关点法).在平面直角坐标系xOy中，直线ykx在矩阵对应的变换下得到的直线过点P(4，1)，求实数k的值. 【导学号：30650012】【解】设变换T：，则，即代入直线ykx，得xky.将点P(4，1)代入上式，得k4.真题链接赏析(教材第16页例2)验证圆C：x2y21在矩阵A对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.已知圆C：x2y21在矩阵A(a0，b0)对应的伸压变换下变为椭圆x21，试求a，b的值.【命题意图】本题主要考查求伸压变换T作用下得到的曲线的方程，同时考查了
9、函数方程思想、转化与化归思想.【解】设P(x0，y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点P(x0，y0)，则，所以即又点P(x0，y0)在圆C：x2y21上，所以xy1，所以1，即1.由已知条件可知，椭圆方程为x21.所以a21，b24.因为a0，b0，所以a1，b2.1.恒等变换将直线x2y10变换为_.【解析】恒等变换保持原图形不变.【答案】x2y102.如图221，把ABC变成ABC的变换矩阵可能是_.(其中A(0，1)，B(1，0)，C(0，1)，A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)图221【解析】注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可
10、能对应的是沿x轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M.【答案】 3.函数yx2在矩阵M变换作用下的结果为_. 【导学号：30650013】【解析】代入yx2，得：yx2.把x，y换为x，y，即得yx2.【答案】yx24.已知双曲线1，矩阵对应的反射变换把双曲线变成的曲线是_.【解析】设双曲线上任意一点P(x，y)在反射变换下对应点P(x，y)，则，代入双曲线方程，得1，双曲线1在矩阵对应的反射变换下所得图形仍是它本身.【答案】1我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(三)学业达标1.试讨论矩阵对应的变换将直线y3x2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】设
11、直线y3x2上的任意一点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变成点(x，y)，则有，所以将其代入y3x2中，得y3x2，从而可知矩阵对应的变换将直线y3x2仍变成了同一条直线.矩阵对应的变换是恒等变换.2.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换下得到曲线F，求F的方程. 【导学号：30650014】【解】设P(x，y)是椭圆上任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P(x，y)，则有，即所以又4x2y21，所以x2y21.所以曲线F的方程为x2y21.3.求曲线C：x2y29在矩阵M对应的反射变换作用下得到的图形的周长.【解】设曲线C：x2y29上任意一点P(x，
12、y)在矩阵M对应的反射变换作用下得到的点为P(x，y)，则，所以将其代入x2y29中，得xy9，从而可知曲线C在矩阵M对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6. 4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)；(2)；(3)(k0).【解】(1)；(2)；(3)(k0).对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半.矩阵(k0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量变成，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k倍.当k1时，矩阵(k0)对应的是沿y轴方向的伸长变换；当0k1时，矩阵(k0)
13、对应的是沿y轴方向的压缩变换；当k1时，则矩阵对应的是恒等变换.5.设a，bR，若矩阵A把直线l：y2x4变换为直线l：yx12，求a，b的值.【解】在直线l上取两点(2，0)，(0，4)，则，.由题意，知点(2a，2)，(0，4b)在直线l上，从而解得6.已知a，bR，若M所对应的变换TM把直线l：3x2y1变换为自身，试求实数a，b的值.【解】在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P(x，y)，则所以点P(xay，bx3y)，点P在直线l上，3(xay)2(bx3y)1，即(32b)x(3a6)y1，方程(32b)x(3a6)y1即为直线l的方程3x2y1，解得7.已知
14、矩阵M1，M2，研究圆x2y21先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程. 【导学号：30650015】【解】由题意，即求圆x2y21在矩阵M3对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P(x，y)是圆x2y21上任意一点，点P在矩阵M3对应的变换作用下，得点P(x，y)，则有，即代入x2y21，得4y21.故所求曲线方程为4y21.能力提升8.在平面直角坐标系xOy中，直线xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a，b的值.【解】在直线l：xy20上取两点A(2，0)，B(0，2)，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A，B，因为，所以A的坐标为(2，2b).，所以B的坐标为(2a，8).由题意A，B在直线m：xy40上，所以解得a2，b3.
