1、第六节 简单的三角恒等变换基础梳理1、用于三角恒等变换的公式主要有：(1)_，运用它们可实现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主要功能是变名；(2)_，运用它们可实现与一个锐角有关的不同角之间的转化，其主要功能是变角；(3)_，它们是三角恒等变换的主力军，主要功能也是变角 同角三角函数的基本关系式诱导公式和差角公式和倍角公式2221sincos1 cossin2.半角公式(1)sin=_.=_.=_=(2)cos(3)tan 12cos12cos11coscos基础达标2212sincos22coscos1.(教材改编题)12=()A.tan B.tan 2 C.1 D.B 2212si
2、ncos22coscos2212sincos1222coscos解析：=tan 2 613223791313792.(教材改编题)若sin=则cos=()B.-C.D.A.-A 22362 6679解析：cos=cosp-2=-cos =2sin2-1=-12123.“sina=”是“cos 2a=”的()A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1212121212解析：由cos 2a=，得1-2sin2a=sin a=，sin a=是cos 2a=的充分不必要条件 ，从而4.对任意的实数a、b，下列等式恒成立的是()A.2sin acos b=si
3、n(a+b)+sin(a-b)B.2cos asin b=sin(a+b)+cos(a-b)C.cos a+cos b=2sin 2222sin D.cos a-cos b=2cos cos 解析：sin(a+b)+sin(a-b)=sin acos b+cos asin b+sin acos b-cos asin b=2sin acos b，所以答案A正确，其他逐个验证都是错误的 A=_.，tan 25414444414tantantantan 215421154322322解析：tan=tan=5.已知tan(a+b)=，则tan 经典例题110sin310cos8 1sin 282cos
4、题型一 利用三角恒等变换公式进行化简求值【例1】(1)(2)2 103101010cossinsincos230101202sinsin解(1)原式=4.=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.又4 1 244sin cos424cos32(2)原式=2+sin 4+cos 40，cos 40，原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.234121335题型二 三角函数式的求值【例2】已知 ba，且cos(-)=，sin(+)=-，求sin 2的值 解 ，0-，+.又cos(-)=，sin(+)=-.sin(-)=，cos(+)=-，sin 2
5、=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=2344321213355134535121345 5135665 变式2-1 已知cos a=，cos(a-b)=，且0ba .1722(1)求tan2a的值；(2)求b.由b=a-(a-b)得：cos b=cosa-(a-b)=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)=，得0a-b，tan2a=，0a 解析：(1)由cosa=17212cos 11274 37sincos4 37713212tantan2 4 314 3 28 34722131412cos1312143 3141713144 373
6、3141223得sin a=，tan a=4=-(2)由0ba 又cos(a-b)=sin(a-b)=+=0b，b=题型三 三角函数式的证明【例3】已知A、B为锐角，求证：A+B=的充要条件是(1+tan A)(1+tan B)=2.4充分性：(1+tan A)(1+tan B)=2，1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2，tan(A+B)(1-tan Atan B)=1-tan Atan B，tan(A+B)=1，0A，0B，0A+B，A+B=.224必要性：A+B=，tan(A+B)=tan，即=1，整理得(1+tan A)(1+tan B)=2.综上，若A、B为锐角，则
7、A+B=的充要条件是(1+tan A)(1+tan B)=2441tanAtanBtanAtanB4链接高考(2010湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期 知识准备：1.运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；2.掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=)；3.正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期知识准备：1.运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；2.掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=)；3.正弦型函数y=Asin(wx+F)+h的最小正周期T=.T=.22abba2|w解：f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-1=sin-1，f(x)的最小正周期T=.224x22
