1、2021年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.）1已知集合A（x，y）|x1，B（x，y）|yx+1，则AB（）A（1，2）B（1，2）C1，+）D12若复数z满足zi|1i|，则z（）A1iB1+iCD3直线l1：ax+y10，l2：（a1）x2y+10，则“a2”是“l1l2”的（）条件A必要不充分B充分不必要C充要D既不充分也不必要4已知定义在R上的函数f（x）满足：x，yR，f（x+y）f（x）f（y），且f（1）2，则f（0）+f（2）（）A4B5C6D75已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面，下列命题中正确的是（）AmnBnCD6等差数
2、列an，Sn为其前n项和，a1dx，S636，记数列（1）nan的前n项和为Tn，则T10+T21（）A11B9C13D77我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果北宋大科学家沈括在梦溪笔谈首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推记第n层货物的个数为an，则数列的前2021项和为（）ABCD8定义运算a1a4a2a3，设f（x）（0），若f（x）的图象与直线y2相交，且交点中两点间的最短距离为，则满足f（m+x）f（mx）的一个m的值为（）ABCD9已知O为坐标原点，P为C：（xa）2
3、+（y1）22（a0）上的动点，直线l：x+y10，若P到l的最小距离为2，则a的值为（）A2B4C6D810已知曲线C：2x22y21，过它的右焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m（）ABCD11已知函数f（x），记af（log32），bf（log53），cf（ln），则（）AacbBabcCcabDcba12已知函数f（x）ex+a，若曲线yf（x）在点（b，f（b）处与直线y0相切，则a（）A1B0C1D1或1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若（x）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 .（用
4、数字作答）14樱花如约而至，武汉疫后重生“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为 15已知抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴的交点为K，点P（x，y）（y0）为C上一点，当最大时，直线KP的斜率为 16如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式SPBC+SPAC+SPAB成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理现有以下命题：（1）若P是ABC的重心，则有+；（2）若a+b
5、+c成立，则P是ABC的内心；（3）若+，则SABP：SABC2：5；（4）若P是ABC的外心，A，m+n，则m+n，1）则正确的命题有 三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）（一）必考题：每题12分，共60分17在钝角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinCsin（AB）4sin2A（1）求的值；（2）若ABC的外接圆半径为，C，求ABC的面积18某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2020年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如表：xi12345678ui1412202022243026（1）求出y关于x的线性回归
6、方程x+，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）分布列及数学期望参考数据及公式：xiyi850，xi2204.，b19如图，在圆锥PO中，AC为O的直径，点B在上，ODBC，CAB（1）证明：平面PAB平面POD；（2）若直线PA与底面所成角的大小为，E是PD上一点，且OEPD，求二面角EACB的余弦值2
7、0已知椭圆C：+1（ab0）的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且P（2，1）在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）A，B是椭圆上异于P的两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，点Q（8，3）到直线AB的距离为d，若k1+k21，求以d的最大值为直径的圆的面积21已知函数f（x）x3+x2+ax+a（1）若曲线yf（x）在点（0，a）处的切线l与曲线x2+y2相切，求a的值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲
8、线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中射线（0）与曲线C1交于点A，射线（0）与曲线C2交于点B，求AOB的面积选修4-5：不等式选讲（10分23函数f（x）|2x1|+|x2|+1（1）若方程f（x）m无实根，求实数m的取值范围；（2）记f（x）的最小值为n若a，b0，且5a+5b2n，证明：a+4b9ab0参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A（x，y）|x1
9、，B（x，y）|yx+1，则AB（）A（1，2）B（1，2）C1，+）D1解：因为集合A（x，y）|x1，B（x，y）|yx+1，直线x1与直线yx+1的交点为（1，2），所以AB（1，2）故选：B2若复数z满足zi|1i|，则z（）A1iB1+iCD解：由，得z故选：C3直线l1：ax+y10，l2：（a1）x2y+10，则“a2”是“l1l2”的（）条件A必要不充分B充分不必要C充要D既不充分也不必要解：若l1l2，则a（a1）20，a2a20，a2或a1，a2是l1l2的充分不必要条件故选：B4已知定义在R上的函数f（x）满足：x，yR，f（x+y）f（x）f（y），且f（1）2，则f（
10、0）+f（2）（）A4B5C6D7解：因为x，yR，f（x+y）f（x）f（y），且f（1）2，令x0，y1，则有f（1）f（1）f（0），又f（1）2，则f（0）1，令xy1，则有f（2）f（1）f（1）224，故f（0）+f（2）5故选：B5已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面，下列命题中正确的是（）AmnBnCD解：Aml，nl，则m与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，因此不正确；Bl，ln，则n或n，因此不正确；C，则或与相交，因此不正确；Dm，m，可得，因此正确故选：D6等差数列an，Sn为其前n项和，a1dx，S636，记数列（1）nan的前n项和为Tn，则T1
11、0+T21（）A11B9C13D7解：等差数列an，Sn为其前n项和，a1dxlnx1，S636，36，解得d2，记数列（1）nan的前n项和为Tn，则（1）nan（1）n1+2（n1）（1）n（2n1），T10+T21（1+35+79+1113+1517+19）+（1+35+79+1113+1517+1921+2325+2729+3133+3537+3941）52+1024111故选：A7我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果北宋大科学家沈括在梦溪笔谈首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个
12、，以此类推记第n层货物的个数为an，则数列的前2021项和为（）ABCD解：由题意得，a11，anan1n（n2），ananan1+an1an2+a2a1+a1n+n1+3+2+1（n1时也成立）2（），数列的前2021项和2（1+）2（1）故选：B8定义运算a1a4a2a3，设f（x）（0），若f（x）的图象与直线y2相交，且交点中两点间的最短距离为，则满足f（m+x）f（mx）的一个m的值为（）ABCD解：，根据题意，可知f（x）的周期为，解得1，由，得，f（x）关于对称，f（m+x）f（mx），f（x）关于xm对称，满足f（m+x）f（mx）的一个m的值为故选：C9已知O为坐标原点，P为
13、C：（xa）2+（y1）22（a0）上的动点，直线l：x+y10，若P到l的最小距离为2，则a的值为（）A2B4C6D8解：圆C：（xa）2+（y1）22（a0）的圆心坐标C（a，1），半径为，圆心到直线l：x+y10的距离d，要使P到l的最小距离为2，则3，即|a|6，又a0，a6故选：C10已知曲线C：2x22y21，过它的右焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m（）ABCD解：由C：2x22y21，得，则c1F（1，0），设MN：xty+1，联立，得（2t22）y2+4ty+10设M（x1，y1），N（x2，y2），则，|MN|，则MN
14、的中点坐标为（），则MN的垂直平分线方程为，令y0，可得，则|PF|，即m故选：A11已知函数f（x），记af（log32），bf（log53），cf（ln），则（）AacbBabcCcabDcba解：f（x）为偶函数，x0时，0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，c，log32log531，f（log32）f（log53）f（1），cba故选：D12已知函数f（x）ex+a，若曲线yf（x）在点（b，f（b）处与直线y0相切，则a（）A1B0C1D1或1解：由f（x）ex+a，得f（x），因为曲线yf（x）在点（b，f（b）处与直线y0相切，则f（b）0，即0，所以，两边同取以
15、e为底得对数，可得ln（ebb）ln（），即lneb+lnbln+ln（ln），所以b+lnbln+ln（ln），设g（x）x+lnx，g（x）1+0，函数在（0，+）上单调递增，所以bln，即blnb，又f（b）0，所以f（b）0，解得a1故选：C二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若（x）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为.（用数字作答）解：（x）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，n8，故展开式的通项公式 Tr+1x82r，令82r0，求得r4，可得展开式中常数项为，故答案为：14樱花如约而至，武汉疫后重生“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉
16、大学履行武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为解：某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，基本事件总数n56，甲医生被选中且乙护士未被选中包含的基本事件个数m15，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为P故答案为：15已知抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴的交点为K，点P（x，y）（y0）为C上一点，当最大时，直线KP的斜率为1解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x1，K（1，0），过点P作PM垂
17、直于准线l，垂足为M，（0PKF）当最大时，即cosPKF的值最小，等价于求tanPKF的值最大，则tanPKF1，故cosPKF当且仅当，即y2时等号成立，此时x1，所以当最大时，点P的坐标为（1，2），此时直线KP的斜率为1故答案为：116如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式SPBC+SPAC+SPAB成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理现有以下命题：（1）若P是ABC的重心，则有+；（2）若a+b+c成立，则P是ABC的内心；（3）若+，则SABP：SABC2：5；（4）若P是ABC的外心，A，m+n，则m+n，1）则正确的命题有（1）（
18、2）（4）解：（1）P是ABC的重心，SPBCSPACSPABSABC，SPBC+SPAC+SPAB成立，SABC（+），+），因此（1）正确（2）若a+b+c成立，又SPBC+SPAC+SPAB成立，SPBC：SPAC：SPABa：b：c成立，SPBC：SPAC：SPABar：rb：rc成立，点P为ABC的内心，因此（2）正确（3）若+，则+（）+（），化为：2+2+，SPBC+SPAC+SPAB成立，SABP：SABC1：5，因此不正确；（4）若P是ABC的外心，A，BPC90，PBPC，m+n，则m2+n2，m2+n21，又m+n1，（m+n）22（m2+n2），m+n1，m+n，1）故
19、答案为：（1）（2）（4）三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）（一）必考题：每题12分，共60分17在钝角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinCsin（AB）4sin2A（1）求的值；（2）若ABC的外接圆半径为，C，求ABC的面积解：（1）sinCsin（AB）4sin2A；A+B+C，sin（A+B）sin（AB）4sin2A，即2cosAsinB8sinAcosA 又ABC为钝角三角形，cosA02sinB8sinA，即sinB4sinA根据正弦定理，得b4a，即4 （2）由正弦定理，得c2RsinC，又根据余弦定理，得c2a2+b22abc
20、osCa2+（4a）22a4acos13a213 所以a1，b4，则SABCabsinC1418某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2020年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如表：xi12345678ui1412202022243026（1）求出y关于x的线性回归方程x+，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否
21、中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）分布列及数学期望参考数据及公式：xiyi850，xi2204.，b解：（1）由题意可得，所以，所以b，所以y关于x的线性回归方程为，当x9时，故预测该店9月份的成交量为30辆；（2）由题意可得，获得“一等奖”的概率为，所以X的可能取值为0，2，3，5，7，10，所以P（X0），P（X2）+，P（X3），P（X5）+，P（X7）+，P（X10），则X的分布列为：X 0 2 45 7 10 P 所以E（X）0+2+4+5+7+1019如图，在圆锥PO中，AC为O的直径，点B在上，ODBC，CAB（1）证明：平面PAB平面POD；（2）若直线PA与底面所成
22、角的大小为，E是PD上一点，且OEPD，求二面角EACB的余弦值【解答】（1）证明：因为在圆锥PO中，PO平面ABC，又AB平面ABC，所以POAB，又AC为圆O的直径且点B在上，所以ABBC，又因为ODBC，所以ABOD，又PODOO，PO，DO平面POD，所以AB平面POD，又AB平面PAB，所以平面PAB平面POD；（2）解：设AC4，因为直线PA与底面所成角的大小为，所以POAO2，又CAB，所以BC2，AB2，故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），又点E是PD上一点，且OEPD，所以，设平面EAC的法向量为，则，即，令y1，则，故，又平面ABC的法向量为
23、，所以，故二面角EACB的余弦值为20已知椭圆C：+1（ab0）的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且P（2，1）在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）A，B是椭圆上异于P的两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，点Q（8，3）到直线AB的距离为d，若k1+k21，求以d的最大值为直径的圆的面积解：（1）由题意可知，bc，ab，所以椭圆的方程为，因为点P（2，1）在椭圆上，所以，解得b23，所以椭圆的方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m260，则8（6k2m2+3），且，
24、因为直线PA，PB的斜率分别为k1，k2且k1+k21，所以，即y1x2+x1y2+（x1+x2）2（y1+y2）x1x20，所以，所以（m+3）（2k+m1）0，故m3或m12k，当m12k时，直线AB的方程为yk（x2）+1，恒过点P（2，1），不符合题意；当m3时，由8（6k2m2+3）0，可得k1或k1，当直线AB的斜率不存在时，直线AB过点C（0，3）时，不妨设A（0，），B（0，），所以当直线AB恒过定点C（0，3）时，则Q（8，3）到直线AB的距离d|QC|10，当ABCD时等号成立，此时，故以d的最大值为直径的圆的面积2521已知函数f（x）x3+x2+ax+a（1）若曲线yf
25、（x）在点（0，a）处的切线l与曲线x2+y2相切，求a的值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围解：（1）f（x）x2+2x+a，f（0）a，在（0，a）处的切线方程为axy+a0，又切线与x2+y21相切，解得a1；（2）由f（x）x2+2x+a，（i）当44a0，即a1时，f（x）0恒成立，f（x）在R上单调递增，满足f（x）与c轴有且只有一个交点；（ii）当44a0，即a1时，f（x）0有两个不同的实根，设两根为x1，x2（x1x2），则x1+x22，x1x2a，由f（x）0得xx1或xx2，由f（x）0得x1xx2，f（x）在（，x1），（x2，+）单调递
26、增，在（x1，x2）单调递减，yf（x）与x轴有且只有一个交点等价于f（x1）f（x2）0，又f（x）x2+2x+a0，则x2a2x，0a1综上所述，a的取值范围为（0，+）（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中射线（0）与曲线C1交于点A，射线（0）与曲线C2交于点B，求AOB的面积解：（1）曲
27、线C1的参数方程为（t为参数），消去参数得：（y0）根据转换为极坐标方程为2（2cos2）30（0，），曲线C2的极坐标方程为sin（），根据，转换为直角坐标方程为（2）极坐标系中射线（0）与曲线C1交于点A，所以，解得，所以A（）射线（0）与曲线C2交于点B，所以，解得，所以B（），所以选修4-5：不等式选讲（10分23函数f（x）|2x1|+|x2|+1（1）若方程f（x）m无实根，求实数m的取值范围；（2）记f（x）的最小值为n若a，b0，且5a+5b2n，证明：a+4b9ab0解：（1）f（x）|2x1|+|x2|+1，作出函数的图象如图：由函数图象可知，要使f（x）m无实数根，则m实数m的取值范围为（，）；证明：（2）由（1）可知，n，5a+5b5，a+b1，即b1a，由，得0a1a+4b9aba+4（1a）9a（1a）9a212a+4，当a时等号成立a+4b9ab0
