1、南充市高2015届第三次高考适应性考试数学试卷（文科） 【试卷综述】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了
2、引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设集合M满足1，21，2，3，4，则满足条件的集合M的个数为（） A.1 B 2 C 3. D. 4【知识点】子集与真子集A1【答案】【解析】C 解析：根据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素因此，满足条件1，2M1，2，3，4的集合M有：1，2、1，2，3、1，2，4，共3个故选：C【思路点拨】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.【题文】2.已知
3、点A(1,3)，B(4，一1），则与向量的方向相反的单位向量是（）A、（，）B、（，）C、（，）D、（，）【知识点】单位向量F1【答案】【解析】A 解析：=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5与向量的方向相反的单位向量故选：A【思路点拨】利用与向量的方向相反的单位向量即可得出【题文】3.函数bx的图象在点A（l，f(1）处的切线与直线3x - y20平行，若数列 的前n项和为Sn，则S2015（） A、1B、 C、 D、【知识点】数列的求和；二次函数的性质B5 D4【答案】【解析】D 解析：f（x）=2x+b，由直线3xy+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f（1）=2+b=3，即b=1，
4、所以f（x）=x2+x，从而数列的通项为，所以S2015=，故选：D【思路点拨】由f（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列的通项公式，计算可得答案【题文】4.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（） A. 3 B. 2 C. 6 D. 8【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】C 解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：4=2两个侧面面积为：23=3，前面三角形的面积为：4=6，四棱锥PABCD的四个侧
5、面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选C【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥PABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可【题文】5.设两圆C1，C2都与坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆的圆心距Cl C2（） A. 4B、4C、8D、84 【知识点】圆的标准方程H3【答案】【解析】C 解析：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，a=5+2，或 a=52，故圆心为（5+2，5+2 ） 和 （52，52 ），故两圆心的距离|C1C2|=8，故选C【思路点拨】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（
6、a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值【题文】6.函数有零点（）个 A.1B.2C. 3D、4【知识点】根的存在性及根的个数判断B10【答案】【解析】 B 解析：函数f（x）=2x|log0.5x|1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2故选B【思路点拨】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数.【题文】7.已知抛物线上一点M（1，m）（m 0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行、则实数a等于（） A、
7、 B、 C、 D、【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质H6 H7【答案】【解析】A 解析：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线y2=1的左顶点为A（，0），渐近线方程为y=x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选A【思路点拨】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值【题文】8.函数在x1和x1处分别取得最大值和最小值，且对于，则函数f（x1）一
8、定是（） A周期为2的偶函数B.周期为2的奇函数 C.周期为4的奇函数D.周期为4的偶函数【知识点】正弦函数的图象B4【答案】【解析】C 解析：由题意可得，1，1是f（x）的一个增区间，函数f（x）的周期为22=4，=4，=，f（x）=Asin（x+）再根据f（1）=Asin（+）=A，可得sin（+）=cos=1，故=2k，kz，f（x）=Asinx，故f（x）是周期为4的奇函数，故选：C【思路点拨】由题意可得函数f（x）的周期为4，由此求得 的值，再根据f（1）=A，求得 的值，可得f（x）的解析式，从而得出结论【题文】9已知正方体ABCD一A1B1C1D1，下列命题： 向量与向量的夹角为
9、600正方体ABCD一A1B1C1D1的体积为，其中正确命题序号是 A.B.C.D.【知识点】空间向量及应用G9【答案】【解析】A 解析：如图所示：以点D为坐标原点，以向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），对于：，|=，|=1，正确；对于：，=2错误；对于：，正确；对于：，错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D为坐标原点，以向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个
10、命题进行逐个检验即可【题文】10.设函数，则关于x的方程有三5个不同实数 根，则等于 C. 5 D. 13【知识点】分段函数的应用B10【答案】【解析】C 解析：方程有3个实数根，=k有解时总会有2个根，所以必含有1这个根，令=1，解得x=2或x=0，所以x12+x22+x32=02+12+22=5故选C【思路点拨】根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得【题文】第II卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【题文】11、若复数
11、x（1ai）（2i）的实部与虚部相等，则实数a【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】 解析： ，因为实部与虚部相等，所以，解得，故答案为【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a【题文】12.若函数，则【知识点】导数的运算B11【答案】【解析】 解析：因为，所以，则令可得，所以，则，而，则，即，故答案为。【思路点拨】通过导函数的运算求得，代回原函数式可得以及，即可求出、，最后写出结果。【题文】13.在区间（0，）上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率等于【知识点】几何概型K3【答案】【解
12、析】 解析：0tanx1，x（0，）0x，以区间长度为测度，可得所求概率为=,故答案为：【思路点拨】求出满足0tanx1，x（0，）的x的范围，以长度为测度，即可求得概率【题文】14.阅读右边框图，为了使输出的n5，则输人的整数P的最小值为【知识点】程序框图L1【答案】【解析】8 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 S n循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 否故S=7时，满足条件SpS=15时，不满足条件Sp故p的最小值为8故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程
13、序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【题文】15平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题： m，使曲线E过坐标原点； 对m，曲线E与x轴有三个交点； 曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称； 若P、M、N三点不共线，则 PMN周长的最小值为24; 曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。 其中真命题的序号是（填上所有真命题的序号） 【知识点】命题的真假判断与应用；轨迹方程A2【答
14、案】【解析】 解析：平面内两定点M（0，2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|=m（m4），=m（0，0）代入，可得m=4，正确；令y=0，可得x2+4=m，对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；若P、M、N三点不共线，|+|2=2，所以PMN周长的最小值为2+4，正确；曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2SMNG=|GM|GN|sinMGNm，四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确故答案为：【思路点拨】利用平面内两定点M（0，2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|=m（m4），可得=
15、m，对选项进行分析，即可得出结论【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16.在ABC中，角A、B、C对边a，b，c，已知向量 （l）求角A的大小； （2）若，求边a的最小值【知识点】向量在几何中的应用F3【答案】【解析】（l）（2）2 解析：（1）向量=（c2b，a），=（cosA，cosC）且（c2b）cosA+acosC=0sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，sin（A+C）=2sinBcosA，sinB=2sinBcosA，cosA=又A为三角形内角，A=；（2）若=4，即cb=8，由余弦定理得a2=b2+c22bc
16、sosA=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）224又由基本不等式可得（b+c）24bc=32a28，即边BC的最小值为2【思路点拨】（1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中转化为关于A角的三角方程，解方程，即可求出A角大小（2）由（1）的中结论，代入余弦定理，结合基本不等式，可得两边和的最小值，代入即可求出边BC的最小值【题文】17一已知数列 中，首项a11，数列bn的前n项和 （1）求数列bn的通项公式； （2）求数列| bn |的前n项和【知识点】递推公式；数列的和D1 D4【答案】【解析】（l）；（2） 解析：（l）由已知，即，累加得：又。对于数列的前n项和：所以当时，
17、（2）设数列的前n项和，则当时，当时，故【思路点拨】（l）两边取对数,变形后可利用累加法;（2）对n分两种情况可得结果.【题文】18.为了调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数I2【答案】【解析】（）（）0.5 解析：（）设甲校
18、高三年级总人数为n，则=0.05，n=600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1=；（）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，由茎叶图可知，30（a1a2 ）=（75）+55+（28）+（50）+（56）+92=15，a1a2=0.5利用样本估计总体，故估计x1x2 的值为0.5【思路点拨】（）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；（
19、）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1a2 ）=（75）+55+（28）+（50）+（56）+92=15，从而求出a1a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可【题文】19.如图，直三棱柱ABC一A1B1 C1中，AB，AC3 ，BC，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点 ( I）当E是BB1的中点时，证明:DE平面A1B1C1 （2）在棱BB1上是否存在点E使平面AC1E平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定G10 G11【答案】【解
20、析】（l）见解析；（2）见解析 解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1FD是AC1的中点，E是BB1的中点DFAA1，B1EAA1，DF=AA1，B1E=AA1，DFB1E，DF=B1E，所以DEB1F，DE=B1F（2分）又B1F平面A1B1C1，所以DE平面A1B1C1（4分）（2）解：分别在两底面内作BOAC于O，B1O1A1C1于O1，连接OO1，则OO1AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则=，A（0，1，0），C1（0，t），E（1，0，h）平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）（7分）设平面AC1E
21、的法向量为=（x，y，z）=（1，1，h），=（0，h）由可得（9分）取z=1得y=，x=（11分）由题知，=0，=所以在BB1上存在点E，当时，二面角EAC1C是直二面角（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE平面A1B1C1；（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论【题文】20已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率e，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A .B （l）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足（0为
22、原点），当时，求实数 的取值范围【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8【答案】【解析】（l）（2）（2，）（，2） 解析：（1）由题知a2=m，b2=1，c2=m1，解得m=4椭圆的方程为（4分）（2）当l的斜率不存在时，不符合条件（5分）设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，=（6k）24（4+k2）5=16k2800，解得k25且，=由已知有整理得13k488k21280，解得，5k28（9分），即（x1，y1）+（x2，y2）=（x0，y0），x1+x2=x0，
23、y1+y2=y0当=0时，显然，上述方程无解当0时，P（x0，y0）在椭圆上，即+=1，化简得由5k28，可得324，（2，）（，2）即的取值范围为（2，）（，2）（12分）【思路点拨】（1）由题知a2=m，b2=1，c2=m1，且离心率为，得m=4由此能求出椭圆的方程（2）当l的斜率不存在时，不符合条件设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解【题文】21已知二次函数时f（x）0， 当x（2,0）时，f（x）0，且对，不等式恒成立。 （1
24、）求函数f（x）的解析式； （2）设函数时的最大值H（t）； （3）在（2）的条件下，若关于t的函数的图象与直线y0无公共点，求实数p的取值范围。【知识点】函数恒成立问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法B11 B12【答案】【解析】（l）f（x）=x2+2x；（2）（3） 解析：（l）由已知得a0，且2和0为方程ax2+bx+c=0的两根，可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）（a1）x1恒成立得（a1）20，a=1，f（x）=x2+2x；（2）F（x）=tf（x）x3=tx2+（2t1）x3（t0），以下分情况讨论F（x）在时的最大值H（t）（1）当t=0时，F（x）=x3在时单
25、调递减，；（2）当t0时，F（x）图象的对称轴方程为，只需比较的大小，F（x）max=8t5；，综上可得（3）由题意，只需要pH（t）0，且pH（t）=1无解，即pH（t）max0，且1不在pH（t）值域内由（II）可知H（t）的最小值为，即H（t）的最大值为，【思路点拨】（l）由已知得a0，且2和0为方程ax2+bx+c=0的两根，故可设f（x）=ax（x+2），利用f（x）（a1）x1恒成立，求出a的值；（2）由题意，分情况讨论F（x）在时的最大值H（t）当t=0时，F（x）是单调函数，可求最大值；当t0时，利用二次函数求最值的方法，分类讨论；（3）由题意，只需要pH（t）0，且pH（t）=1无解，即pH（t）max0，且1不在pH（t）值域内，故问题得解。
