1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。32.2函数模型的应用实例第1课时一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例导思1.在解决实际应用问题时，常见的函数模型有哪些？2在二次函数模型解决实际应用问题时，需要列出二次函数的解析式，常用的方法有哪些？1.一次函数模型形如ykxb的函数为一次函数模型，其中k0.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？ 提示：k0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k0，0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，)上为增函数；当a0，0时，函数的图象在第一象限内是下降
2、的，在(0，)上为减函数1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式()提示：只要大部分数据适合就可以(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定()提示：由解析式、自变量的实际意义共同确定(3)利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解决的实际问题()提示：建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出的数据要能解释实际问题2(教材习题改编)如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B二次函数模型C.指数函数模型 D对
3、数函数模型【解析】选A.自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么yf(x)的解析式为_【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得yf(x)答案：yf(x)类型一一次函数模型(数学运算、数学建模)1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费用是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元若普通车存
4、车次数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数解析式是()Ay0.3x800(0x2 000)By0.3x1 600(0x2 000)Cy0.3x800(0x2 000)Dy0.3x1 600(0x2 000)2某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式(2)若总运费
5、不超过1 000元，问能有几种调运方案？(3)求总运费最低的调运方案及最低运费【解析】1.选D.由题意可知总收入y(元)关于x(辆次)的函数解析式为y0.5x(2 000x)0.80.3x1 600(0x2 000).2(1)甲地调运x台到B地，则剩下(6x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)，则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，所以y20x960(xN，且0x6).(2)若使y1 000，即20x9601 000，得x2.又0x6，xN，所以0x2，xN.所以x0，1，2，即有3种调运方案(3)因
6、为y20x960是R上的增函数，又0x6且xN，所以当x0时，y有最小值为960.所以总运费最低的调运方案为从甲地调运6台电脑到A地，从乙地应调运8台电脑至B地，运4台到A地，运费最低为960元 用一次函数模型解决实际问题的注意点(1)一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下是本着“问什么，设什么，列什么”这一处理的原则，求解过程也较简单(2)用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数，另外，要结合题目理解(0，b)和这些特殊点的实际意义类型二二次函数模型(数学建模、数学运算)【典例】
7、山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2 000千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售(1)若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式(2)李经理如果想获得利润22 500元，需将这批香菇存放多少天后出售？(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 解二次函数模
8、型应用题的4个步骤(1)审题：理解题意，设定变量x，y.(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域(3)解模：运用二次函数相关知识求解(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？【解析】(1)由题可设ya(x15)217.5，将x10，y20代入上式，得
9、2025a17.5，解得a0.1.所以y0.1x23x40(10x25).(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)1.6xy1.6x(0.1x23x40)0.1(x23)212.9(10x25).因为x2310，25，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元【拓展延伸】利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立二次函数模型后，求出函数的解析式，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符【拓展训练】某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q(万元)，它们与投入资金m(万元)的
10、关系有如下公式：Pm60，Q706，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元(1)设对乙种产品投入资金x(万元)，求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域(2)如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润【解析】(1)根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金(200x)万元，那么y(200x)60706x6230，由解得25x175，所以函数的定义域为25，175.(2)令t，则 yt26t230(t6)2248，因为x25，175，所以t5，5，当t5，6)时函数单调递增，当t6，5时函数单调递减，所以当t6时，即
11、x36时，ymax248，当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大，最大总利润为248万元类型三分段函数模型(直观想象、数学运算)角度1最大值问题【典例】某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元(1)写出y与x(x0
12、，xN*)之间的函数关系式(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润【思路导引】(1)以30为分界分段列函数关系式(2)分段求最大值，取其中最大的即为最大利润【解析】(1)参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，当1x30且xN时，y850，当30x60且xN时，y85010(x30)1 15010x，所以y(2)当1x30且xN时，Q850x12 000，Qmax8503012 00013 500，当30x60且xN时，Q10x21 150x12 000，其对称轴为x57.5，故当x57或58时，Qmax21 060，所以当公司
13、参加培训的员工为57人或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润为21 060元本例中，若公司有临时紧急事务，最多只能安排40人参加培训，则培训机构可获得的最大利润是多少？【解析】当1x30且xN时，Q850x12 000，Qmax8503012 00013 500，当30x40，且xN时，Q10x21 150x12 000，其对称轴为x57.5，所以Q(x)在区间上是增函数，所以当x40时，取得最大值Qmax18 000；所以当公司参加培训的员工为40人时，培训机构可获得最大利润，最大利润为18 000元角度2最小值问题【典例】经市场调查，某商品在过去的20天内的价格f(t)(单位：元)与
14、销售量g(t)(单位：件)均为时间t(单位：天)的函数，且价格满足f(t)20|t10|，销售量满足g(t)802t，其中0t20，tN.(1)请写出该商品的日销售额y(单位：元)与时间t(单位：天)的函数解析式(2)求该商品的日销售额的最小值【思路导引】(1)去绝对值符号，分段求解析式(2)分段求最小值，取其中最小的，即为商品日销售额的最小值【解析】(1)yf(t)g(t)(802t)(2)当0t10，tN时，其对称轴t50，10)，当t0时，y取最小值且ymin1 200；当10t20，tN时，其对称轴t45，所以当t20时，y取最小值且ymin600，综上所述，在第20天，日销售额y取最
15、小值600元 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后求函数值范围的并集1乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C).已知老陈种植水果的成本是2 800元/吨，那么乔经理的采购量为_时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大【解析】根据图象可知，当0x20时，y8 000，当20x40时，设ykxb，因为B(20，8 000)，C(40，4
16、000)在图象上，则有解得所以y200x12 000，综上可得，y当0x20时，W(8 0002 800)x5 200x，因为W5 200x在(0，20上是单调递增函数，所以当x20时，W取得最大值为104 000；当20x40时，W(200x12 0002 800)x200(x246x)200(x23)210 5800，对称轴为x23(20，40，所以当x23时，W取得最大值为105 800元综合，由于105 800104 000，所以当x23时，W取得最大值为105 800，故乔经理的采购量为23吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大答案：23吨2某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t
17、每吨收费标准y/元x2m24n已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元设用户每月缴纳的水费为y元(1)写出y关于x的函数解析式(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水【解析】(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得所以y关于x的函数解析式为y(2)当x3.5时，y33.537.5(元).故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元(3)令6x1524，解得x6.5.故该用户最多可以用6.5 t水【补偿训练】提高过江大桥的车辆
18、通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)【解析】(1)由题意知，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得
19、故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并结合(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2，当且仅当x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20，200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时1一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75
20、%85%95%要使收入每天达到最高，则每间应定价为()A20元 B18元 C16元 D14元【解析】选C.每天的收入在四种情况下分别为2065%1001 300(元)，1875%1001 350(元)，1685%1001 360(元)，1495%1001 330(元).2某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A310元 B300元C290元 D280元【解析】选B.设函数模型为ykxb，将(1，800)，(2，1 300)代入得所以所以y500x300.令x0时y300.3根据统计，一名工人组装第x件某产
21、品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是()A75，25 B75，16C60，25 D60，16【解析】选D.由题意知组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，解得A16.4一件商品成本为20元，售价为40元时每天能卖出500件若售价每提高1元，每天销量就减少10件，问商家定价为_元时，每天的利润最大【解析】设商家定价为x元时，每天的利润为f(x)元则f(x)(x20)50010(x40)10(x55)212 250.可得x55时，函数f(x)取得最大值，因此商家定价为55元时，每天的利润最大答案：555“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由xat5t2确定已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为_【解析】由xat5t2且t2时，x100，解得a60.所以x60t5t2.由x5t260t5(t6)2180，知当t6时，x取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为180米答案：180米关闭Word文档返回原板块
