1、第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用(二)4.5.1 函数的零点与方程的解 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养2借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.情 景 导 学 探 新 知 路边有一条河，小明从 A 点走到了 B 点观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？(1)(2)将这个实际问题抽象成数学模型 问题：如图，若将河看成 x 轴，建立平面直角坐标系，A，B 是人的起点和终点，
2、则点 A，B 应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？提示：只要满足点 A 与点 B 分布在 x 轴的两侧即可，即图中 A处的函数值与 B 处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识1函数的零点 对于函数 yf(x)，把使叫做函数 yf(x)的零点f(x)0的实数x思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？提示：不是函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标2方程、函数、函数图象之间的关系方程 f(x)0 有实数解函数 yf(x)的图象与有公共点函数 yf(x)有3函数零点存在定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条的曲线，且有，那么，
3、函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解f(c)0 x轴零点连续不断f(a)f(b)0思考 2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0，则 f(x)在a，b内无零点()(3)若 f(x)在a，b上为单调函数，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()(4)若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a)f(b)0.()答案(1)(2)(3)(4)2下列各图象表示的函数中没有零点的是()A B C DD 结合函数零点
4、的定义可知选项 D 没有零点3函数 y2x1 的零点是()A.12 B12，0 C.0，12D2A 由 2x10 得 x12.4函数 f(x)3x4 的零点所在区间为()A(0,1)B(1,0)C(2,3)D(1,2)D 由 f(1)113 0，f(0)30，f(1)10，f(3)230，得 f(x)的零点所在区间为(1,2)合 作 探 究 释 疑 难 求函数的零点【例1】(1)求函数f(x)x22x3，x0，2ln x，x0的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所
5、以函数f(x)x22x3，x02ln x，x0的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x13.所以函数g(x)的零点为0和13.函数零点的求法 1代数法：求方程 fx0 的实数根.2几何法：对于不能用求根公式的方程 fx0，可以将它与函数 yfx的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟进训练1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)x24x12x2.解(
6、1)解方程 f(x)x27x60，得 x1 或 x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程 f(x)1log2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1.(3)解方程 f(x)2x130，得 xlog26，所以函数的零点是 log26.(4)解方程 f(x)x24x12x20，得 x6，所以函数的零点为6.判断函数零点所在的区间【例 2】(1)函数 f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是()A(3,4)B(2，e)C(1,2)D(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程 exx30 的一个根所在区间是()x1 0123 ex0.37 1 2.72 7.39 20.08 x323456
7、A.(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)(1)C(2)C(1)因为f(1)ln 2210，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.630，f(0)1320，f(1)2.7241.280，f(3)20.08614.080，f(1)f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.判断函数零点所在区间的三个步骤 1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连
8、续，则在该区间内至少有一个零点.跟进训练2若函数 f(x)xax(aR)在区间(1,2)上有零点，则 a 的值可能是()A2 B0 C1 D3A f(x)xax(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a2 时，f(1)1210.故 f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选 A.函数零点的个数 探究问题1方程 f(x)a 的根的个数与函数 yf(x)及 ya 的图象交点个数什么关系？提示：相等2若函数 g(x)f(x)a 有零点，如何求实数 a 的范围？提示：法一：g(x)f(x)a 有零点可知方程 f(x)a0 有解，即 af(x)有解 故 a 的范围
9、为 yf(x)的值域 法二：g(x)f(x)a 有零点，等价于函数 ya 与函数 yf(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可【例 3】已知 0a1，则函数 ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2 C3 D4思路点拨 B 函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数 画出函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|
10、logax|(0a1)的图象的交点的个数为 2，从而函数 ya|x|logax|的零点的个数为 2.1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解 由2x|logax|10得|logax|12x，作出y12x及y|logax|(0a1)的图象如图所示 由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y2x|logax|1有两个零点2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b的取值范围解 由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示 则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数
11、f(x)|2x2|b有两个零点.课 堂 小 结 提 素 养 1理解 2 个知识点零点的含义、零点存在定理(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：函数是连续的；定理不可逆；至少存在一个零点(2)方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 yf(x)g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标2掌握 2 种方法(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与 x轴的交点的横坐标(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题3规避 1 个误区零点不是点，而是数，是图象与 x 轴交点的横坐标1函数 f(x)2x23x1 的零点是()A12，1 B12，
12、1C.12，1D12，1B 方程 2x23x10 的两根分别为 x11，x212，所以函数f(x)2x23x1 的零点是12，1.2函数 f(x)2x3 的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)B f(1)2310，f(1)f(2)0，即 f(x)的零点所在的区间为(1,2)3对于函数 f(x)，若 f(1)f(3)0，则()A方程 f(x)0 一定有实数解B方程 f(x)0 一定无实数解C方程 f(x)0 一定有两实根D方程 f(x)0 可能无实数解D 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管 f(1)f(3)0，但方程 f(x)0 在(1,3)上可能无实数解4二次函数 yax2bxc 中，ac0 得二次函数 yax2bxc 有两个零点5已知函数 f(x)x2x2a.(1)若 a1，求函数 f(x)的零点；(2)若 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)x2x2.令 f(x)x2x20，得 x1 或 x2.即函数 f(x)的零点为1 和 2.(2)要使 f(x)有零点，则 18a0，解得 a18，所以 a 的取值范围是18，.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
