1、第5课时 空间中的垂直关系考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 第5课时双基研习面对高考 1直线与平面垂直(1)定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的_直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直(2)判定定理及推论判定定理：如果一条直线与平面内的_垂直，则这条直线与这个平面垂直，符号表示：a，b，abP，la，lbl.任何两条相交直线基础梳理推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也_于这个平面符号表示：ab，ab.推论2：如果两条直线_同一个平面，那么这两条直线平行符号表示：a，bab.(3)直线与平面垂直的性质如果一条直线
2、垂直于一个平面，那么它就和平面内的_直线垂直上述推论2.垂直垂直于任意一条2平面与平面垂直(1)定义如果两个相交平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线_，就称这两个平面互相垂直(如墙角的两个竖面)(2)判定定理如果一个平面过另一个平面的_，则两个平面互相垂直符号表示为：a，aa.垂直互相垂直一条垂线(3)性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面符号表示为：_.交线，l，b，blb思考感悟垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：可能平行，也可能相交3直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平
3、面所成的角当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_.90和01已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“m”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A课前热身2.如图，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直但不相交C异面D相交但不垂直答案：B3若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A若m，则mB若m，m，则C若，则D若m，n，mn，则答案：B4(教材习题改编)ABC中，ABC90，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是_答案：45已知平面、
4、和直线m，给出条件：m；m；m；.(1)当满足条件_时，有m；(2)当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)答案：考点探究挑战高考 考点突破 线面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45，求证：MN平面PCD.例1【思 路 分 析】M、N是中点，取PD中点E MNAE AE面PCD MN面PCD【证明】如图，
5、取 PD 的中点 E，连接 AE，NE.E、N 分别为 PD、PC 的中点，EN 綊12CD.又M 为 AB 的中点，AM 綊12CD.EN 綊 AM，四边形 AMNE 为平行四边形MNAE.PA平面ABCD，PDA45，PAD为等腰直角三角形AEPD.又CDAD，CDPA，CD平面PAD，而AE平面PAD，CDAE.又CDPDD，AE平面PCD.MN平面PCD.【方法指导】欲证线面垂直，一般是先证线线垂直，而线线垂直一般来源于线面垂直、面面垂直及几何体本身的特点，如等腰三角形底边的中线、直棱柱等互动探究 本例中，连接BD，则当矩形ABCD满足什么条件时，PCBD?解：若PCBD，又PABD，
6、PAPCP，BD平面PAC，BDAC，即矩形ABCD的对角线互相垂直矩形ABCD为正方形，即当矩形ABCD为正方形时，PCBD.证明面面垂直常用的方法有：(1)利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线平行(2)利用定义转化，证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可平面与平面垂直的判定与性质(2010年高考安徽卷)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，
7、H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积例2【思路分析】AC与BD的交点为G，连EG，证明EGFH，EGAC.【解】(1)证明：如图，设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点连结 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊12AB.又 EF 綊12AB，EF 綊 GH，四边形 EFHG 为平行四边形，EGFH.而 EG平面 EDB，FH平面 EDB，FH平面 EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，得ABBC.又EFAB，EFBC.而EFFB，EF平面BFC.EFFH.ABFH.又BFFC，H为BC的中点
8、，FHBC.FH平面ABCD，FHAC.又FHEG，ACEG.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)EFFB，BFC90，BF平面 CDEF.BF 为四面体 BDEF 的高又 BCAB2，BFFC 2.VBDEF13121 2 213.对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的推理，再对变化不定的线面关系进行观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断，另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法，才能使开放性问题快速有效地解决与垂直有关的探究性问题 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正
9、三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论例3【思路分析】(1)取AD的中点G AD面PBG ADPB(2)PG面ABCD 在CG上找一点H，使FHPG 得出结论【解】(1)证明：如图，取 AD 的中点G，连接 PG，BG，BD.PAD 为等边三角形，PGAD，又平面 PAD平面 ABCD，PG平面 ABCD.在ABD 中，DAB60，ADAB，ABD 为等边三角形，BGAD，AD平面 PBG，ADPB.(2)连接 EF，CG，DE，且 CG 与 DE 相交于H 点，在PGC 中作 H
10、FPG，交 PC 于 F 点，连接 DF，FH平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD.H 是 CG 的中点，F 是 PC 的中点，在 PC 上存在一点 F，即为 PC 的中点，使得平面 DEF平面 ABCD.【名师点评】本题也可取PC的中点F，连PE，证明面PBG面FED，由(1)知PG面ABCD，面PBG面ABCD，面FED面ABCD.方法技巧1证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a；(2)判定定理 1：m、n，mnAlm，lnl；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.方法感悟2证明线线垂直的方法
11、(1)定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4.垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键失误防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判
12、定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力 预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角为主要考查点，重点考查学
13、生的空间想象能力以及逻辑推理能力例规范解答(本题满分 12分)(2010年高考北京卷)如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EFAC，AB 2，CEEF1.求证：(1)AF平面 BDE；(2)CF平面 BDE.【证明】(1)设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EFAG，且 EF1，AG12AC1，所以四边形 AGEF 为平行四边形.3 分所以 AFEG.因为 EG 平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF平面 BDE.6 分(2)连接 FG.因为 EFCG，EFCG1，且 CE1，所以四边形 CEFG 为菱形所以 CFEG.8 分因为四边形 ABCD 为正方形，所
14、以 BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.10分所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.12分【名师点评】本题考查了立体几何中的线面关系，试题难度为中档，考生解答本题易忽略地方：(1)中不说明EG平面BDE，AF平面BDE，(2)中不说明平面ACEF平面ABCDAC，导致步骤失分1已知 m，n 为不同的直线，为不同的平面，给出下列命题：mnnm；m，m；mnmn.名师预测其中正确的是()A BCD解析：选C.命题即为直线与平面垂直的性质定理命题正确；命题显然成立；命题的结论中，应为mn或m与n相交或m与n成异面直线才成立命题错误
15、2设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A若，n，mn，则mB若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若n，n，m，则m解析：选 D.对命题 A，增加 m 后才正确，A 错；对命题 B，还有 与 相交的可能，B错；对命题 C，与 还可能平行，C 错；由nn，又 m，m，故选 D.3.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD2EC，(1)求证：BE平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：NE平面PDB.证明：(1)ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA，EC平面PDA.同理可得BC平面PDA.EC平面EBC，BC平面EBC且ECBCC，平面EBC平面PDA.又BE平面EBC，BE平面PDA.(2)连接 AC，与 BD 交于点 F，连接 NF，F 为 BD 的中点，NFPD 且 NF12PD，又 ECPD 且 EC12PD.NFEC 且 NFEC.四边形 NFCE 为平行四边形NEFC.PD平面ABCD，AC面ABCD，ACPD.又DBAC，PDBDD，AC面PBD.NE面PDB.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
