1、【学生版】微专题：反正弦反余弦反正切的理解与拓展 【沪教版2020】必修第二册在6.3.2 解三角形中，为了表示例中的角C，我们引入如下记号：一般的，我们用表示满足的角；用表示满足的角；用表示满足的角；【说明】符号、在计算器上一般分别用、表示；所以，【沪教版2020】是为解三角形与日后表示非特殊角，而引入“反三角函数”的；因此，为了便于学生“反三角函数”并熟练、灵活使用，在此，不妨拓展与例析；【典例】例1、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题考查了教材中反正弦的定义；单位圆与三角函数线以及终边相同角的表示；主要就是实
2、现了用反三角表示非特殊角；例2、已知，则= 【提示】【答案】【解析】【说明】本题考查了依据不等式性质，将不在范围内的角，利用诱导公式先转化；然后，整体利用反余弦定义解之；例3、已知，用反正弦形式表示；【提示】【答案】【解析】【说明】本题主要考查了利用不等式性质与诱导公式，创设反三角的主值范围，再转化解之；例4、（1）已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的；（2）已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的；【归纳】反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：，；反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：，；反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：，；特别提醒
3、：1、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正弦值为所对应的角，即；2、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的余弦值为所对应的角，即；3、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正切值为所对应的角，即； 【即时练习】1、若，则用反余弦表示为2、， 3、在中， _4、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；5、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【教师版】微专题：反正弦反余弦反正切的理解与拓展 【沪教版2020】必修第二册在6.3.2 解三角形中，为了表示例中的角C，我们引
4、入如下记号：一般的，我们用表示满足的角；用表示满足的角；用表示满足的角；【说明】符号、在计算器上一般分别用、表示；所以，【沪教版2020】是为解三角形与日后表示非特殊角，而引入“反三角函数”的；因此，为了便于学生“反三角函数”并熟练、灵活使用，在此，不妨拓展与例析；【典例】例1、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【提示】注意：利用单位圆的三角函数线直观表示，用反三角表示非特殊角；【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）；【解析】（1）由且，根据反正弦的定义知：，则；（2）由且，根据反正弦的定义知：；再由时，则；（3）由且，根据反正弦的定义知：；
5、则；再由，结合单位圆中（或诱导公式），得另一解为：；综上，满足条件的为：或；（4）由且，同（3）满足条件的为：或；（5）由且，根据（4）的结论并结合终边相同角的表示，得：或；即或；经化简，得满足条件的为：；【说明】本题考查了教材中反正弦的定义；单位圆与三角函数线以及终边相同角的表示；主要就是实现了用反三角表示非特殊角；例2、已知，则= 【提示】注意：由三角比的符号“精确”角的范围；【答案】【解析】由，则；又，而，所以，即；【说明】本题考查了依据不等式性质，将不在范围内的角，利用诱导公式先转化；然后，整体利用反余弦定义解之；例3、已知，用反正弦形式表示；【提示】由于角直接不在主值范围内，注意转化
6、；【答案】；【解析】因为，又由知，所以，则，；【说明】本题主要考查了利用不等式性质与诱导公式，创设反三角的主值范围，再转化解之；例4、（1）已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的；（2）已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的；【提示】注意：理解反三角的定义与作用；【答案】（1），；（2），； 【解析】（1）由已知，且，得，；则据反正弦、反余弦、反正切的定义，得，；（2）已知，且，得，；则据反正弦、反余弦、反正切的定义，得，；【说明】由本题的求解说明：引入反三角，注意用来表示非特殊角；而且，结合同角三角比的关系，角的表达形式不唯一；【归纳】反正弦函数：函数，的反函数叫做反
7、正弦函数，记作：，；反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：，；反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：，；特别提醒：1、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正弦值为所对应的角，即；2、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的余弦值为所对应的角，即；3、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正切值为所对应的角，即； 【即时练习】1、若，则用反余弦表示为【答案】 ；2、， 【答案】；3、在中， _【答案】或；4、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）或；（5）；5、已知，根据下列条件，分别求对应的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）；
