1、解密08 正、余弦定理及解三角形内容索引核心考点1 利用正、余弦定理解三角形核心考点2 解三角形与其他知识的交汇问题 高考考点三年高考探源预测利用正、余弦定理解三角形2021全国甲卷文理科 82021全国乙卷文理科 152020课标全国112020课标全国172019课标全国15解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点解三角形与其他知识的交汇问题2020课标全国162019课标全国172019课标全国 17核心考点一 利用正、余弦定理解三角形考法 利用正、余
2、弦定理解三角形变式一 利用正、余弦定理解三角形 1、（2021全国高一课时练习）在中，则b的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】先根据，求出，再由正弦定理，求解即可.【详解】在中，由正弦定理可知即.故选：A.2、（2021天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.3、（广东省清远市2022届
3、高三上学期期末数学试题）在平面四边形中，(1)求；(2)求的面积【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的长；（2）首先判断出为直角三角形，从而可求出，然后利用三角形的面积公式即可求出答案.(1)因为为直角三角形，所以在中，由余弦定理，得，所以(2)由（1）知，所以，所以为直角三角形，且，所以，故4、（2021北京高考真题）在中，（1）求；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：的周长为；条件：的面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）
4、若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，解得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.技巧点拨利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化若想“边”往“
5、角”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”；若想“角”往“边”化，常利用sin A，sin B，sin C，cos C等变式二 与三角形面积有关的问题1、（2021云南红河模拟预测（文）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（ ）A1B2CD【答案】C【解析】利用平方关系求得，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.2、（2021全国高考真题）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）由
6、正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.变式三 三角形形状的判断1、（2021全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形【答案】D【解析】根据余弦定理，得到，求得，即可求解.【详解】因为，由余弦定理可得，又
7、由，所以，所以是钝角三角形.故选：D.2、（2021河南高三阶段练习（文）在中，则的形状是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】D【解析】在中，由余弦定理知，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状【详解】在中，又由余弦定理知，两式相加得：，（当且仅当时取“” ，又，（当且仅当时成立），为的内角，又，的形状为等边故选：技巧点拨判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏
8、解.变式四 三角形的个数1、（2021全国高一课时练习）满足条件，的三角形的个数是（ ）A1个B2个C3个D不存在【答案】B【解析】由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.【详解】在中，因为，由正弦定理 ，可得，因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.2、（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知在ABC中，a=x，b=2，B=30，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）Ax2B0x2C2x3D2x4【答案】D【解析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.【详解】如图所示：因为AC=b=2，若三角形有两个解，则以C
9、为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当时，圆与BA相切，不合题意；当时，圆与BA交于B点，不合题意；所以，且，所以由正弦定理得： ，则，解得，故选：D核心考点二 解三角形与其他知识的交汇问题考法 解三角形与其他知识的交汇问题变式一 解三角形与三角恒等变换相结合1、（2022河北唐山高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角C；(2)求的取值范围【答案】(1) (2)【解析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.(1)由已知及正弦定理得，即，由余弦定理得，可得(2)根据正弦定理得，又，则故，则的取值范围是变式二 解三
10、角形与平面向量相结合1、（2022全国高三专题练习）在ABC中，O为ABC的重心，若，则ABC外接圆的半径为（ ）ABCD【答案】B【解析】由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.【详解】因为，所以，即.因为O为ABC的重心，且，所以ABC为等边三角形.因为，所以.因为，所以ABC外接圆的半径为.故选：B2、（2021全国全国模拟预测）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，则（ ）A2019B2020C2021D2022【答案】C【解析】令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.【详解】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，由B，C，D三点共线可得：，于是有，则，在中，则，在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理有，于是得，因此，所以2021.故选：C
