1、【学生版】微专题：对勾函数与二次函数的交汇1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. （1）当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： （2）当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 2、对勾函数与二次函数的交汇在二次函数中，涉及一些恒成立和是根分布的问题可以通过两边同除以，利用分离变量的方法得到或者在区间的最值问题；由此，自然而然地与“对勾函数”进行了交汇
2、、转化与综合； 例1、已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。【提示】；【解析】；【说明】。例3、已知函数，且 ，则的最小值为（ ）A B C D【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例4、已知二次函数满足以下要求：函数的值域为； 对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求：时，的值域；例5、已知函数；（1）若函数有唯一的零点，求的值；（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。【练习】1、已知函数对于一切成立，求的取值范围。2、已知，若恒成立，求a的取值范围。3、方
3、程在区间内有解 ，求的取值范围。4、已知函数；（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；5、设二次函数为.（1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；【教师版】微专题：对勾函数与二次函数的交汇1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. （1）当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： （2）当异号时， 对
4、勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 2、对勾函数与二次函数的交汇在二次函数中，涉及一些恒成立和是根分布的问题可以通过两边同除以，利用分离变量的方法得到或者在区间的最值问题；由此，自然而然地与“对勾函数”进行了交汇、转化与综合； 例1、已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【提示】由于，一元二次函数的“对称轴”含有参数与定义域有限制，不妨考虑变量分离；【答案】D；【解析】原不等式等价于： ，结合恒成立的条件可得： ；由“对勾函数”的性质与图像可知函数在定义域内严格单调递减，则函数的最小值为： ，据此可得：实数的取值范围为；所以，选择D；【说明】本题通过变量分
5、离，将一元二次函数在给定区间上恒成立问题，转化为利用“对勾函数”求值域问题；例2、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。【提示】注意题设中“任意”“恒有”的转化；【解析】根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则 当时， 所以；【说明】本题将“对勾函数”含参数与定义域限制，转化为：一元二次函数在给定区间上求最值问题。例3、已知函数，且 ，则的最小值为（ ）A B C D【提示】注意：根据一元二次函数解析式研究的步骤与方法；题设“”的几何意义；【答案】A；【解析】因函数的对称轴为，故由题意可得，即，解之得或，则；记，化简、整理得，当且仅当，即且，则或取最小值，经计算，得；，且；故应选答案
6、A；【说明】本题是一道较为困难的试题，求解时充分借助题设中所提供的条件，依据函数图像的对称性建立含参数的方程，求得，进而确定函数的解析式，然后再考虑函数最小值的求解方法，求解时先运用基本不等式探求整数的取值可能，进而通过求出函数值行比较，从而求得最小值使得问题获解；例4、已知二次函数满足以下要求：函数的值域为； 对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求：时，的值域；【提示】（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式 ，从而列出关于、的方程组，从而解得、，得解析式；（2） 是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从
7、而得值域【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由已知，化简得，又，所以，对称轴方程为：，又因为，函数的值域为，所以且，解得：，所以，；（2）又由，不妨令，则，再由，则，且；再据“对勾函数”的延伸，函数， 的性质与图像，得，也就是，所以，函数的值域为：；例5、已知函数；（1）若函数有唯一的零点，求的值；（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。【解析】（1）若因数有唯一的零点，等价于有唯一实根；若，则方程为，方程根为，满足题意；若，则，得；综上所述:或；（2） 解法1、（直接讨论） 由等价于，记，若，即，则在上递增，所以，即；若， 即，则在上递增， 在上递增，所以；若，即，则在上递增，所
8、以.综上所述.解法2、（转化为对勾函数）由等价于，记，可知在上递减，在上单调递增.若，此时，所以在上递减，所以；若，此时，所以在上递减，在上递增，所以；综上所述:.解法3、（参变分离）由，则恒成立.当时，；当时，对恒成立， 而， 当且仅当时等号成立，综上所述；【练习】1、已知函数对于一切成立，求的取值范围。【解析】根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则 当时， ，但 所以，；2、已知，若恒成立，求a的取值范围。【解析】根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，即；所以a的取值范围为：；3、方程在区间内有解 ，求的取值范围。【解析】根据题意得：时，无解；在内有解，即：在上的取值范围，设，则
9、 当时， ，故；所以a的取值范围为：；4、已知函数；（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；【解析】（1）因为，所以.所以，即，解得或.故不等式的解集为或.（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.因为，所以，令，则，根据对勾函数性质知，当时，取得最小值6 ， 故的取值范围为.5、设二次函数为.（1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；【解析】（1）由题意，对于恒成立，令.当时，在上单调递减，所以只需要，解得；当时，所以不成立；当时，在上单调递增，所以只需要，解得.综上.(2)解法1、(直接讨论)二次函数开口向上，对称轴为.当时，所以在区间上单调递增.存在使得，只需要，解得，又，所以.当时，所以在区间上的最小值为.存在，使得 ，只需要，解得或，又，所以；当时，所以在区间上单调递减，存在使得，只需要，解得，又，所以.综上，.解法2、(参变分离)由对能成立，参变分离得到对或者对能成立， 即当时，或者当时，.综上所述:的取值范围为.
