1、【名师解析】四川省南充市2015届高三第一次高考适应性考试数学（文）试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】第I卷选择题(满分50分)【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设全集，集合，集合，则A.B.C.D.【知识点】交
2、集、补集的运算.A1 【答案】【解析】B 解析：因为全集，集合，所以，又因为集合，所以，故选B。【思路点拨】先解出A的补集，再求出结果即可。【题文】2.已知复数，则的共轭复数为A.B.C.D.【知识点】共轭复数的概念.L4 【答案】【解析】C 解析：因为，所以的共轭复数为，故选C。【思路点拨】根据共轭复数的定义即可。【题文】3.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充要条件.A2 【答案】【解析】A 解析：因为，所以，则“”是“”的充分而不必要条件。【思路点拨】先解出，再进行判断即可。【题文】4.函数在上是增函数，则实数a的范
3、围是A.B.C.D.【知识点】二次函数的性质.B5 【答案】【解析】D 解析：因为函数在上是增函数，所以，即，故选D.【思路点拨】结合二次函数的性质做出判断即可。【题文】5.对于平面和直线，下列命题中真命题是A.若则ab；B.若ab，则；C.若，则；D.若am，an，则；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理G4 G5 【答案】【解析】A 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若则ab为真命题，A正确;若ab，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面外时，才有，故B错误；若，此时由面面平行的判定定理可知，
4、只有当a、b为相交线时，才有故C错误；若am，an，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有，D错误；故选A.【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。【题文】6.在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若内角A、B、C依次成等差数列，且a和c是的两根，则SABC=A.B.C.D.【知识点】等差数列的性质D2 【答案】【解析】C
5、解析：内角A、B、C依次成等差数列，a和c是的两根，故选：C【思路点拨】利用等差数列的性质，可得，由a和c是的两根，求出a，c，再利用三角形面积公式，可得结论【题文】7.已知角的终边经过点，则A.3B.C.D.【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2 【答案】【解析】D 解析：因为角的终边经过点，所以，则，故选D.【思路点拨】先根据已知条件得到，再化简代入即可得到结果。【题文】8.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【知识点】椭圆的标准方程H5 【答案】【解析】B 解析：抛物线的准线方程为，抛物线的准线过椭圆
6、的左焦点且与椭圆交于A、B两点，椭圆的左焦点，O为坐标原点，AOB的面积为，整理，得，解得，或（舍），故选：B【思路点拨】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出，由此能求出椭圆的离心率【题文】9.若目标函数满足约束条件且最大值为40，则的最小值为A.B.C.1D.4【知识点】简单线性规划的应用E5 【答案】【解析】B 解析：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大40，即，即，而故选B【思路点拨】先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利
7、用基本不等式求最小值即可【典例剖析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题【题文】10.已知函数，其中，且函数满足.若恰有5个零点，则实数m的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断B4B9 【答案】【解析】A 解析：当x（1，1时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x（1，3得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，（9m2+1）x272m2x+135m2=0，令t=9m2（t
8、0），则（t+1）x28tx+15t=0，由=（8t）2415t （t+1）0，得t15，由9m215，且m0得 m，同样由与第三个椭圆由0可计算得 m，综上可知m,故选A【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当x（1，1，3，5，7，9上时，f（x）的图象为半个椭圆根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点把直线分别代入椭圆方程，根据可求得m的范围【题文】第II卷（非选择题，满分100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸
9、上无效。【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.已知向量，且，则x=_.【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系F3 【答案】【解析】0 解析：，且，解之可得x=0故答案为0.【思路点拨】由题意可得，解之即可【题文】12.执行下图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的P的值是_.【知识点】程序框图.L1 【答案】【解析】105 解析：k,p的起始值为k=1,p=1,根据流程图的指向，第二次循环时k=3,p=1;第三次循环时k=5,p=3;第四次循环时k=7,p=15;此时输出p=105;故答案为105.【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止
10、。【题文】13.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：_.【知识点】特称命题；命题的否定A3 【答案】【解析】任意一个无理数，它的平方不是有理数 解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：任意一个无理数，它的平方不是有理数故答案为：任意一个无理数，它的平方不是有理数【思路点拨】特称命题的否定是全称命题，直接考查它对应的全称命题即可【题文】14.已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点.若圆周上存在一点C，使得ABC为等边三角形，则实数m的值为_.【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】【解析】 解析：根据题意画出图形，连接O
11、A,OB,作OD垂直于AB于D点，因为ABC为等边三角形，所以,由余弦定理知：，故,所以,所以O（0,0）到直线AB的距离，解得，故答案为。【思路点拨】先由圆心角与圆周角的关系得到，再利用余弦定理得到BD,最后借助于点到直线的距离公式可解得m即可。【题文】15.如果对定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”.给出下列函数：；.以上函数是“H函数”的所有序号为_.【知识点】函数单调性的性质B3 【答案】【解析】 解析：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式恒成立，不等式等价为恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数函数在定义域上不单调不满足条件为增函数，满足条件，
12、函数单调递增，满足条件当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H函数”的函数为，故答案为：【思路点拨】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）已知向量.令，（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的值.【知识点】的图像及性质.C4 【答案】【解析】（1）;（2）当时，函数取得最小值.解析：2分 5分 （1）由最小正周期公式得： 6分 （2），则 令，则， 从而在单调递减，在单调递增 10分 即
13、当时，函数取得最小值 12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。【题文】17.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求.南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概
14、率计算公式K2 【答案】【解析】（1）32；（2）解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为, 所以候车时间少于10分钟的人数为人. 6分 (2)将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为.从6人中任选两人包含一下基本事件：，其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为 12分【思路点拨】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率【题文】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示
15、，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）求三棱锥C1CNB1的体积.【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.G5 G7 【答案】【解析】（1）见解析；(2) 解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , , 6分 (2) 由等体积法,12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先利用等体积法可求到面的距离。【题文】19.（本小题满分12分）已知递增等差数列中的是函数的两个零点.数列满足，点在直线上，
16、其中是数列的前n项和.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【知识点】等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.D2 D3 D4 【答案】【解析】（1），（2）解析：（1）因为，是函数的两个零点，则 ，解得：或. 又等差数列递增，则，所以 3分因为点在直线上，则。当时，即.当时， ，即.所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.6分(2)由（1）知：且，则 所以 .-得：.所以. 12分【思路点拨】（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点,离心
17、率是.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l过且与椭圆C交于A，B两点，若,求直线l的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程H5 H8 【答案】【解析】（1） ；(2) 解析：（1）设椭圆的标准方程 由已知可得 解得. 故椭圆的标准方程。 5分 （2）由已知，若直线的斜率不存在，则过的直线的方程为，此时，所以直线的斜率存在，设直线的方程为。 联立方程，得，整理得： 设， 则， 由，得 联立解得. 所以直线的方程为。13分【思路点拨】（1）设椭圆C的方程为，利用所给条件列出方程组，解出即可；（2）易判断直线l不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l的方程为，与椭圆方程联立方
18、程组消掉y得关于x的一元二次方程，设，由可得关于x1，x2的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k值。【题文】21.（本小题满分14分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（其中，e是自然对数的底数）.【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立问题；不等式的证明.B12 【答案】【解析】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）；（3）见解析. 解析：（1）当时， 由解得，由解得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 4分（2）当时，不等式恒成立，即恒成立.设，只需即可. ）当时，函数在上单调递减，故成立. ）当时，由，则或若，函数在上单调递增，则函数在上无最大值，不满足条件.若，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上无最大值，不满足条件.）当时，由，函数在上单调递减，故成立.综上：实数的取值范围是. 9分（3）由（2）知，当时，且. .所以， 14分【思路点拨】（1）当时，然后求导，借助于的符号判断单调区间；（2）当时，不等式恒成立，即恒成立. 设，只需即可.,然后对a分类讨论即可；（3）借助于时，且.证明即可。
