1、第五节 数列的综合应用 第五节 数列的综合应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何部分也有广泛的应用(1)对于等差数列：_，当d0时，an是n的一次函数对应的点(n，an)是位于直线上的若干个点当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0，q1或a10,0q0,0q1或a11时，等比数列是递减数列 当q1时，是一个常数列 当q0)数列bn满足bnanan1(nN*
2、)(1)若an是等差数列，且b312，求a的值及an的通项公式；(2)若an是等比数列，求bn的前n项和Sn；(3)当bn是公比为a1的等比数列时，an能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由【思路分析】(1)由基本量运算可得结果；(2)讨论a1和a1两种情况；(3)利用等比数列的定义判断【解】(1)an是等差数列，a11，a2a，an1(n1)(a1)又b312，a3a412，即(2a1)(3a2)12，解得 a2 或 a56.a0，a2.ann.(2)数列an是等比数列，a11，a2a(a0)，anan1.bnanan1a2n1.bn1bn a2，数列bn是首项为 a，公比为
3、a2的等比数列当 a1 时，Snn；当 a1 时，Snaa2n1a21 a2n1aa21.(3)数列an不能为等比数列bnanan1，bn1bn an1an2anan1 an2an，则an2an a1.a3a1.假设数列an能为等比数列由 a11，a2a，得 a3a2.a2a1，此方程无解数列an一定不能为等比数列【名师点评】本题中对字母a分类讨论，这也是等比数列不同于等差数列的情形等比数列含参数往往需要讨论互动探究1 本例(3)中“公比a1”改为“a”,则第(3)问结果如何？解：由例(3)知 a3a，a2a，a0 或 a1.当 a0 时，an2an 0 不能成等比数列；当 a1 时，an2a
4、n 1，即 an2an，同时 a1a21，所以此时an能构成等比数列数列与函数、不等式的综合应用 涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等数学思想方法，属于中、高档难度的题目 例2数列an满足 a12，an1a2n6an6(nN*)(1)设 cnlog5(an3)，求证cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设 bn1an61a2n6an，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：516Tn14.【思路分析】由 cn 得出启发，运算 an13；整合 bn 得 bn1an61an16，应用裂项求和法得 Tn.【解】(
5、1)证明：由an1a6an6得，an13(an3)2，log5(an13)2log5(an3)，即cn12cn.又c1log5(a13)1，cn是首项为c11，公比q2的等比数列(2)由(1)得cn2n1，即log5(an3)2n1，an3，an3.n125n125(3)证明：bn1an61a2n6an1an61an16.Tn 1a161a26 1a261a36 1an61an161a161an1614 2159n.又 02159n 1529 116，516Tn14.【名师点评】数列与函数、不等式容易结合构成综合性较强的题目，函数的类型、性质及结构是解决问题的突破口，其次联系数列知识，化简整理
6、代数式也是解题的关键 数列中的探索问题 本问题中，题目的设置多含有参数，又多与存在、不存在等问题相关联，综合性较强，一般可利用特殊值法或者从特殊到一般的处理思想分析、归纳、猜想等，从此过程中找到解题的入口或线索 例3 设等差数列an的前n项和为Sn，且a5a1334，S39.(1)求数列an的通项公式及前n项和公式；(2)设数列bn的通项公式为，问：是否 存 在 正 整 数 t，使 得 b1，b2，bm(m3，mN)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由 nnnabat【思路分析】(1)按基本量运算；(2)b1，b2，bm成等差数列，借助等差中项列式计算【解】(1)设等差数列
7、an的公差为 d.由已知得513234,39,aaa即11817,3,adad解得11.2.ad故 an2n1，Snn2.(2)由(1)知21.21nnbnt 要使 b1，b2，bm 成等差数列，必须 2b2b1bm，即31212,3121mttmt 整理得43,1mt，因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2,3,5.当 t2 时，m7；当 t3 时，m5；当 t5时，m4.故存在正整数 t，使得 b1，b2，bm 成等差数列【名师点评】解决存在性问题时需寻找满足的条件，算出结果，或在某种条件下进行逻辑推理，对于所含的参数，多数题目可以算出具体的数值变式训练 2 设数列an的前 n 项和
8、为 Sn，且 Snn2，数列bn满足nnnabam(mN*)(1)若 b1，b2，b8 成等比数列，试求 m 的值；(2)是否存在 m，使得数列bn中存在某项 bt满足 b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，请说明理由解：(1)因为 Snn2，所以当 n2 时，anSnSn12n1.又当 n1 时，a1S11，适合上式，所以 an2n1(nN*)所以2121nnbnm，则12813151315bbbmmm，由 b22b1b8，得23115()3115mmm，解得 m0(舍)或 m9，所以 m9.(2)假设存在 m，使得 b1，b4，bt(t
9、N*，t5)成等差数列，即 2b4b1bt，则712127121tmmtm，化简得367.5tm 所以当 m51,2,3,4,6,9,12,18,36 时，分别存在t43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意，即存在这样的 m，且符合题意的 m 共有 9 个方法感悟 方法技巧1数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度所以，解决此类题目仅靠掌握一点单科知识，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”“等价转化”等 2
10、数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、减少率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题 3解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立有关等差(比)数列、递推数列模型、再结合其他相关知识来解决问题失误防范1等差、等比数列的综合题，审题易读错题,等差读成等比，或等比看成了等差，一字之差,谬之千里 2综合问题中，数学式子的结构易理解错，造成解题方向出错 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点，题型以
11、解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力预测2012年的江苏高考，等差数列与等比数列的交汇、数列与不等式的交汇是主要考点，重点考查运算能力和逻辑推理能力规范解答 例(本题满分16分)(2010年高考四川卷)已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2.(1)求a3，a5；(2)设bna2n1a2n1(nN*)，证明：数列bn是等差数列；(3)设cn(an1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.【解】(1)由题意，令m2，n1可得a32a2a126，再令m3，n1可得a52a3a1820.3分(2)证明：当nN*
12、时，由已知(以n2代替m)可得 a2n3a2n12a2n18.5分 于是(a2(n1)1a2(n1)1)(a2n1a2n1)8，即bn1bn8.所以数列bn是公差为8的等差数列.8分(3)由(1)(2)知bn是首项 b1a3a16，公差为 8的等差数列，则 bn8n2，即 a2n1a2n18n2.9 分另由已知(令 m1)可得 ana2n1a12(n1)2.那么，an1ana2n1a2n122n18n222n12n.于是，cn2nqn1.12 分当 q1 时，Sn2462nn(n1)当 q1 时，Sn24q16q22nqn1，两边同乘 q 得qSn2q4q26q32(n1)qn12nqn.上述
13、两式相减得(1q)Sn2(1q1q2qn1)2nqn21qn1q 2nqn21n1qnnqn11q，所以 Sn2nqn1n1qn1q12.14 分综上所述，Snnn1 q12nqn1n1qn1q12q1.16 分【名师点评】数列、解析几何、不等式是新课标高考的重点内容，将三者密切结合在一起,命制大型综合题是历年高考的热点和重点数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景进行数列的构造命题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选名师预测 1数列an的前 n 项和是 Sn，若数列an的各项按如下规
14、则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n，2n，n1n，则 a15_，若存在整数 k，使 Sk10，则 ak_.解析：将数列an按以下方式重新排列，(12)，(13，23)，(14，24，34)，(15，25，35，45)，(16，26，36，46，56)，所以 a1556，上述第 1 个括号内的数之和为12，第 2,3,4,5，n 个括号内的数之和分别为22，32，42，52，n2，其前 n 个括号内的数之和Sn122232n212123nnn14，则由Sn10 nn1410n5，即所求的 ak 在第 6 个括号内，前 5 个括号内的所有数之和为1222521
15、52，第 6 个括号内的数为(17，27，37，67)，要使 Sk10，则 ak57.答案：56 572数列an中，a11，a20，若对任意正整数n，m(nm)满足aaanmanm，则a119_.解析：当 m2 时，a2nan2an2，又 a20，故an中偶数项均为 0，当 m1 时，a2nan1an11，从而 a22a1a31，a31.由 a2nan2an2 及 a11，a31 得an中奇数项依次成等比数列，公比为1，故 a1191.答案：1 3各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，Sn14a2n12an(nN*)(1)求 an；(2)令 bnan，n为奇数2nb，n为偶数，cn24nb(nN*)，求cn的前 n 项和 Tn.解：(1)a1S114a2112a114a2112a10，a10，a12；当 n2 时，anSnSn114a2n12an14a2n112an1，14(a2na2n1)12(anan1)0，即(anan1)(anan12)0.an0，anan12，an为等差数列，an2n(nN*)(2)c1b6b3a36，c2b8b4b2b1a12，n3 时，cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12，此时，Tn8(222)(232)(2n12)2n2n；本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
