1、2.1数列的概念与简单表示法教学过程推进新课合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，256，；随着对折数面积依次为, , , , ,.生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有
2、何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的
3、多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.知识拓
4、展师 你能说出上述数列中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.合作探究同学们看数列2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系，项2481632 序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.师 说的很好.如果数列an的第n项an与n之间的关系
5、可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例题剖析1.根据下面数列an的通项公式，写出前5项：(1)an=;(2)an=(-1)nn.师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)
6、2，-6，12，-20，30，-42，.师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)an2n1；(2)an；(3)an；(4)将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81，ann；(5)将数列变形为12，-23，34，-45，56，an(-1)n+1n(n1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.合作探究师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的有限子集1，2
7、，n解析式y=f(x)an=f(n)图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10;1, , , ,的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1, , , ,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y轴的右侧，即
8、特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、
9、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现:(1) 体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学生的学机动机和学习兴趣.(2) 注重展示知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历由形到数，由实际到抽象，由具体到一般的形成概念的过程，使教材更生动，更具亲和力.(3) 关注学生的合
10、作意识在形成定义的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交流，强化学生的合作意识、协作精神，收到了很好的效果 (第二课时)教学过程合作探究数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋
11、势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即141+3;第2层钢管数为5,即252+3;第3层钢管数为6,即363+3;第4层钢管数为7,即474+3;第5层钢管数为8,即585+3;第6层钢管数为9,即696+3;第7层钢管数为10,即7107+3.若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1n7).
12、 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=a n-1+1(2n7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.推进新课1.
13、递推公式定义：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.例题剖析【例1】 设数列an满足.写出这个数列的前五项.师 分析：题中已给出an的第1项即a
14、1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢?生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n项.生 由a1=2，
15、a2=22=22，a3=222=23观察可得，我猜想an=2n.师 很好!生 老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有，所以an=a12n-1=2n.师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.知识拓展已知a1=2，an+1=an-4,求an.师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?生1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a
16、4=-10，观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an.我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,an-a n-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4an=2-4(n-1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.教师精讲(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列an中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列an中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3
17、=7,a4=15,.(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.学生活动根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a10，an+1an(2n-1)(nN)；(2)a11，a n+1 (nN)；(3)a13，an+13an-2(nN).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2.(2)a11，a2，a3=，a4，a5 =，an.(3)a131+230，a271+231，a3191+232，a4551+233，a51631+234，an123
18、n-1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.合作探究一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,则an=an-1+an-2+an-3(n4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n4)，就可以求得a8=81.课堂小结师 这节课我们主要学习
19、了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41P 44.板书设计数列的概念与简单表示法(二)一、定义 二、例题讲解 小结：7.递推公式：例1 通项公式与例2 递推公式区别通过本节课的学习，学生不仅掌握了数列及有关概念，而且可体会到数学概念形成过程中蕴含的基本数学思想：“函数思想、数形结合思想、特殊化思想”，使之获得内心感受，提高了基本技能和解决问题的能力，也可以逐渐学会辩证地看待问题。全 品中考网
