1、第8节抛物线考试要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，y
2、Ry0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定
3、点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程yax2(a0)可化为x2y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.2.(易错题)抛物线yx2的焦点坐标是()A.(0，1) B.(0，1)C.(1，0) D.(1，0)答案A解析抛物线yx2的标准方程为x24y，开口向下，p2，1，故焦点为(0，1).3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()A.y2x B.x2yC.y2x D.x2y答案BC解析设抛物线的标准方程是y2kx
4、或x2my，代入点P(2，3)，解得k，m，所以y2x或x2y.4.(2020新高考全国卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案解析由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y(x1).由得3x210x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x22.5.(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为_.答案x解析法一由题意易得|OF|，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF
5、，所以，即，解得p3，所以C的准线方程为x.法二由题意易得|OF|，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x.6.(2022龙岩一模)已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则的值等于_.答案62解析设B(x0，y0).由方程组消去y并整理，得x24x10(x0)，解得x02.由题意，得F(1，0)，A(1，0)，(2，0)，(x01，y0).(2，0)(x01，y0)2(x01)22x022(2)62.考点一抛物线的定义和标准方程1.设抛物线y22px的焦点在直线2x3y80上，则该抛物
6、线的准线方程为()A.x4 B.x3C.x2 D.x1答案A解析直线2x3y80与x轴的交点为(4，0)，抛物线y22px的焦点为(4，0)，准线方程为x4.2.动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.3.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.答案y23x解析如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的
7、定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x.4.(2022广州模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|PF|，则y0_，p_.答案24解析作PMl，垂足为M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|PF|，在RtPKM中，sinPKM，PKM45，PMK为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又
8、知点P在抛物线x22py(p0)上，解得感悟提升求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点二抛物线的几何性质及应用角度1焦半径和焦点弦例1 (1)已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且t(t1)，|AB|，则t()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析焦点F(1，0)，设直线l为xy1(0)，代入抛物线方程得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y24，由t，即(1x1，y1)t(x21，y2)
9、，有y1ty2，由得y2，y12或y2，y12，即x1t，x2，|AB|x1x2pt2，化简得3t210t30，t3或t(舍).(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义：|AF|y1，|BF|y2，|OF|，所以|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，可得：y1y2p，联立方程：110，由根与系数的关系得y1y2b2p，pp.双曲线渐近线方程为yx.角度2与抛物线有关的最值问题例2 (1)若在抛物
10、线y24x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为_.答案解析如图，y24x，p2，焦点坐标为(1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y1代入抛物线方程求得x，则点P的坐标为.(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1，0)的
11、距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.(3)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_.答案2解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，故最短距离为2.感悟提升与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出
12、“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.训练1 (1)若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2 B. C. D.3答案A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x4y70的距离，即2.(2)已知抛物线y24x，过焦点F的
13、直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.答案2解析由题意知F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.考点三直线与抛物线的综合问题例3 已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求直线l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l的方程为yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|
14、BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，其中144(12t)0，则x1x2.从而，得t(满足0).所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，其中48t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.所以A(3，3)，B，故|AB|.感悟提升1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法
15、.提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.训练2 (2022湖州模拟)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值.解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1，1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.抛物
16、线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角).(4)为定值(F是抛物线的焦点).例1 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B. C.5 D.6答案B解析通法易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|A
17、F|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.优解法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.法二因为|AF|2|BF|，所以1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.例2 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O
18、为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析通法由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.优解由2p3，及|AB|得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.1.抛物线x2y的焦点到准线的距离是()A.2 B.1 C. D.答案D解析抛物线标准方程x22py(p0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p.故选D.2.若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p等于()A.2 B.3 C.4 D.8答案
19、D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8.3.(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. B. C.(1，0) D.(2，0)答案B解析将x2与抛物线方程y22px联立，可得y2，不妨设D(2，2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x.其焦点坐标为.4.(多选)(2021烟台调研)已知F是抛物线C：y216x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x4B.F点的坐标为(0，4)C.|F
20、N|12D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)答案ACD解析不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.故|AN|4，|FF|8，在直角梯形ANFF中，中位线|BM|6，由抛物线的定义有|MF|MB|6，结合题意，有|MN|MF|6，故|FN|FM|NM|6612，C正确，而|ON|8，SONF8416，D正确.5.设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析依题意，设点A(x1，y1)，
21、B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则|(x1x2x3)3.6.(多选)(2022武汉模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若ABF的面积为9，则()A.|BF|3B.ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y26x答案BCD解析因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|FB|；又|BF|FD|FA|，所以ABD90，|FA|AB|，可得ABF为等边三角形，B正确；过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，代
22、入抛物线可得y3p2，|yA|p，ABF的面积为9，即(xAxB)|yA|p9，解得p3，所以抛物线的方程为y26x，D正确；焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为23，C正确；此时点A的横坐标为，所以|BF|AF|AB|6，A不正确.7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽_米.答案2解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米.8.已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则
23、抛物线的方程为_.答案y28x解析半径为3的圆与抛物线的准线l相切，圆心到准线的距离等于3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，3，p4，故抛物线的方程为y28x.9.直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p_，_.答案21解析由题意知1，从而p2，所以抛物线方程为y24x.当直线AB的斜率不存在时，将x1代入抛物线方程，解得|AF|BF|2，从而1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为yk(x1)，联立整理，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而1.综上，1.10.已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为
24、2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值.解(1)抛物线的焦点坐标为，则直线AB的方程是y2，与y22px联立，化简得4x25pxp20，所以x1x2.又|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4，4x25pxp20得x25x40.又x1x2，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4).设(x3，y3)，所以(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)，又y8x3，即2(21)28(41).即(21)241，解得0或2.11
25、.(2022北京昌平区模拟)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px得p，抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明BMx轴，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根据题意显然有x10.若要证A为BM的中点，只需证2yAyBy1即可，左右同除以x1有，即只需证明2kOAkOBkOM成立，其中kOAkOP1，kOBk
26、ON.当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.设直线MN：ykx(k0)，联立消y得，k2x2(k1)x0，考虑(k1)24k212k，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k.由根与系数关系可知：x1x2，x1x2.kOBkOMkONkOM2k.将代入上式，有2k2k2k2(1k)2，即kONkOMkOBkOM22kOA，2yAyBy1恒成立，A为BM的中点，得证.12.设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A.y24x或y28xB.y22x或y28xC
27、.y24x或y216xD.y22x或y216x答案C解析以MF为直径的圆过点(0，2)，点M在第一象限.由|MF|xM5，可得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.点N的横坐标恰好等于圆的半径，圆与y轴切于点(0，2)，从而2，即p210p160，解得p2或p8，抛物线C的方程为y24x或y216x.13.(多选)(2022青岛质检)设F是抛物线C：y24x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.|AB|4B.|OA|OB|8C.若点P(2，2)，则|PA|AF|的最小值是3D.OAB面积的最小值是2答案ACD解析由题意知F(1，0)，不妨
28、设A在第一象限，(1)若直线l斜率不存在，则A(1，2)，B(1，2)，则|AB|4，|OA|OB|2|OA|2，SOAB412，显然B错误；(2)若直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，显然k0，联立方程组消元得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，|AB|x1x2244，原点O到直线l的距离d，SOAB|AB|d22，综上，|AB|4，SOAB2，故A正确，D正确.过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|AF|PA|AN|.又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|AF|取得最小值3，故C正确.故选
29、ACD.14.已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.
