1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年山东省聊城市莘县高中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|3+2xx20，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是( )A3，+）B（3，+）C（，1D（，1）2复数的共轭复数=( )A1+2iB12iC2+iD2i3已知a0，b1，那么下列不等式成立的是( )ABCD4下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x
2、=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件5设f（x）=，且f（1）=6，则f（f（2）的值为( )A18B12CD6等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )AT10BT13CT17DT257与定积分dx相等的是( )AsindxB|sin|dxC|sindx|D以上结论都不对8已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为( )ABCD9函数y=ln的图象大致为( )ABC
3、D10已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是( )A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）二.本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应位置.11已知不等式ax2bx+c0的解集为（，2），对于a，b，c有以下结论：（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c0；（5）ab+c0，其中正确讨论的序号为_12已知角终边上一点P（4，3），求的值_13已知向量=（1，3），=（2，1），=（m+1，m2），若点A
4、、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是_14公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则有_也成等差数列，该等差数列的公差为_15对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；其
5、中真命题的有_三、解答题（共6小题，满分75分）16函数f（x）=lg（x22x3）的定义域为集合A，函数g（x）=2xa（x2）的值域为集合B（）求集合A，B；（）若集合A，B满足BUA=，求实数a的取值范围17在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围18已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值19已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，
6、bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值20（13分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1在（1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1x2
7、（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当x0 时，f（x）2015-2016学年山东省聊城市莘县高中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|3+2xx20，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是( )A3，+）B（3，+）C（，1D（，1）【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法 【专题】计算题；数形结合【分析】集合M为一个二次不等式的解集，先解出，再由MN利用数轴求解【解答】解：M=x|3+2xx20=x|x22x30=（1，3），因为MN所以a1故选C【点评】本
8、题考查集合的关系、解二次不等式及数形结合思想，属基本运算的考查2复数的共轭复数=( )A1+2iB12iC2+iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z，即可求得它的共轭复数【解答】解：复数=1+2i，它的共轭复数=12i，故选B【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3已知a0，b1，那么下列不等式成立的是( )ABCD【考点】不等关系与不等式 【专题】证明题【分析】由0，b1结合不等式的性质可得0a且0，进而得到答案【解答】解：因为a0，b1，所以b21，所以0a因为a0，b1
9、，所以0故选D【点评】解决此类问题的关键是熟悉比较大小的方法（作差、作商）以及不等式的有关性质4下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题 【专题】简易逻辑【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定p；C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D，由“x=1”得出“x25x6=0”成立，判定命题是否正确【解答】解：对于A，否命题是“若x21
10、，则x1”，A错误；对于B，命题p的否定p：xR，x22x10，B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题是真命题，C正确；对于D，“x=1”时，“x25x6=0”，是充分条件，D错误；故选：C【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题5设f（x）=，且f（1）=6，则f（f（2）的值为( )A18B12CD【考点】对数的运算性质 【专题】计算题【分析】题目给出了分段函数，先由已知的f（1）=6求得t的值，把t代回函数解析式后再求f（2），最后求f（f（2）的值【解答】解：因为f（x）=，由f（1）=6，得：
11、2（t+1）=6，所以t=2，所以，则f（2）=，所以f（f（2）=f（log36）=故选B【点评】本题考查了分段函数，考查了对数的运算性质，注意分段函数的函数值要分段求，此题是中低档题6等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )AT10BT13CT17DT25【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简a3a6a12 =a73 是一个确定的常数，列举出T13的各项，利用等比数列的性质得到 T13 =a713，即可得到T13为常数【解答】解：由a3a6a
12、18=a1q2a1q5a1 q17=（a1 q8）3 =为常数，所以a9为常数，则 T17=a1a2a17=（a1a17）（a2a16）（a3a15）（a4a14）（a5 a13）（a6a12）（ a7a11）（a8a10） a9=， 为常数故选C【点评】此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，要求学生掌握等比数列的性质，是一道中档题7与定积分dx相等的是( )AsindxB|sin|dxC|sindx|D以上结论都不对【考点】定积分 【专题】导数的概念及应用【分析】根据二倍角公式，化简原函数，即可求出答案【解答】解：dx=dx=|sin|dx，故选：B【点评】本题考查了二倍角公式
13、，以及定积分的意义，属于基础题8已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为( )ABCD【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象 【专题】计算题【分析】由f（x）=Acos（x+）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acos=0结合已知0，可求 =，再由EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得，从而可得f（x），代入可求f（1）【解答】解：f（x）=Acos（x+）为奇函数f（0）=Acos=0 0=f（x）=Acos（x）=Asinx EFG是边长为2
14、的等边三角形，则=A又函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得，=f（x）=Asinx=则f（1）=故选D【点评】本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是要由EFG是边长为2的等边三角形，及三角形与函数图象之间的关系得到=A，这也是本题的难点所在9函数y=ln的图象大致为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】化简函数的解析式为ln（1），求出它的定义域为（0，+），y0，且y是（0，+）上的增函数，结合所给的选项，得出结论【解答】解：函数y=ln=ln=ln（1），由 10 可得x0，故函数的定义域为（0，+）
15、再由 011，可得 y0，且y是（0，+）上的增函数，故选C【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的定义域和单调性的应用，属于基础题10已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是( )A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性 【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y
16、=f（x）为奇函数，由f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，可把问题转化为（x3）2+（y4）24，借助于的有关知识可求【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称 函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）又f（x）是定义在R上的增函数且f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立（x26x+21）f（y28y）=f（8yy2 ）恒成立x26x+218yy2 （x3）2+（y4）24恒成立设M （x，y），则当x3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由
17、图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=713x2+y249故选 C【点评】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用二.本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应位置.11已知不等式ax2bx+c0的解集为（，2），对于a，b，c有以下结论：（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c0；（5）ab+c0，其中正确讨论的序号为（3）（5）【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的解法 【专题】函
18、数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）利用不等式ax2bx+c0的解集为（，2），可知a0，可判断（1）；（2）与（3）依题意，与2为方程ax2bx+c=0的两个根，结合（1）可判断（2）与（3）；（4）令f（x）=ax2bx+c，则y=f（x）为开口向下的抛物线，其对称轴x=，可知f（1）=a+b+c0，可判断（4）；（5）不等式ax2bx+c0的解集为（，2），可知f（1）=ab+c0，可判断（5）【解答】解：不等式ax2bx+c0的解集为（，2），a0，故（1）错误；依题意，与2为方程ax2bx+c=0的两个根，由得b=a0，c=2a0，故（2）错误，（3）正确令f（x）=ax
19、2bx+c，则y=f（x）为开口向下的抛物线，其对称轴x=，则f（1）=a+b+cf（）=0，故（4）错误；不等式ax2bx+c0的解集为（，2），f（1）=ab+c0，故（5）正确故答案为：（3）（5）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查方程思想、构造函数思想与综合运算求解能力，属于中档题12已知角终边上一点P（4，3），求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题【分析】利用角终边上一点P的坐标求得tan的值，然后利用诱导公式对原式化简整理后，把tan的值代入即可求得答案【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的化简求值注意利用好
20、三角函数中平方关系，倒数关系和商数关系13已知向量=（1，3），=（2，1），=（m+1，m2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是m1【考点】平行向量与共线向量；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】计算题【分析】若点A、B、C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，我们求出A，B，C三点共线时m的取值范围，其补集即为A、B、C能构成三角形时，实数m应满足的条件【解答】解：若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线=（2，1）（1，3）=（1，2），=（m+1，m2）（1，3）=（m，m+1）假设A、B、C三点共线，则1（m+1）2m=0，即m=1若A、B、C三点能构成三角形，
21、则m1故答案：m1【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平行向量与共线向量，如果从正面进行解答，需要复杂的分类讨论，故根据正难则反的原则，先确定A，B，C三点共线时m的取值范围，进而得到答案是解答本题的关键14公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则有S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，该等差数列的公差为300【考点】归纳推理；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的
22、性质，因此商的关第与差的关系正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列再根据等差数列的定义求出公差即可【解答】解：由等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；我们可以类比推断出：S20S10，S30S20，S40S30也构成等差数列公差为100d=300；故答案为：S20S10，S30S20，S40S30，300【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）15对定义在区
23、间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；其中真命题的有【考点】命题的真假判断与应用 【专题】新定义；转化思想【分析】注要考查了新型定义的理解，利用所给的定义分别判断是否符合，得出结论【解答】解：中|f（x）g（x）|=1，故f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代，故正确；中|f（x）
24、g（x）|=x+1，x，记h（x）=x+1，x，易得h（x）=x+10，所以|f（x）g（x）|1，故正确；中，|f（x）g（x）|=|lnxx+b|1等价于xlnx1bxlnx+1对任意x 1，e恒成立，易得（xlnx+1）min=2，（xlnx1）max=e2，故e2b2，正确；故答案为：【点评】考查了对新概念的理解能力和对问题的分析转换能力，学生应对定义透彻理解三、解答题（共6小题，满分75分）16函数f（x）=lg（x22x3）的定义域为集合A，函数g（x）=2xa（x2）的值域为集合B（）求集合A，B；（）若集合A，B满足BUA=，求实数a的取值范围【考点】对数函数的定义域；交、并、
25、补集的混合运算；函数的值域 【专题】函数的性质及应用【分析】（I）利用一元二次不等式的解法即可化简集合A，利用指数函数的单调性即可化简B（II）利用集合的运算性质可得BA，即可得出a的取值范围【解答】解：（）A=x|x22x30=x|（x3）（x+1）0=x|x1或x3，B=y|ay22a（）满足BUA=，BA，4a1或a3，解得a3或a5，即a的取值范围是（，3）（5，+）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、指数函数的单调性、集合的运算性质，属于中档题17在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围【考点】正弦定
26、理的应用；三角函数中的恒等变换应用 【专题】解三角形【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 22sin2A2cos2B=2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值（2）由b=a，可得B=60再由正弦定理可得【解答】解：（1）在ABC中，cos2Acos2B=2（cosA+sinA）（cosAsinA）=2（cos2Asin2A）=cos2Asin2A=2sin2A又因为 cos2Acos2B=12sin2A（2cos2B1）=22sin2A2cos2B，22sin2A2cos2B=2sin2A，cos2B=，cosB=，B=或（2）b=a，B=，由正弦=2，得a
27、=2sinA，c=2sinC，故ac=2sinAsinC=2sinAsin（A）=sinAcosA=sin（A），因为ba，所以A，A，所以ac=sin（A），）【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题18已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值【考点】平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性；三角函数的最值 【专题】综合题【分析】（1）由向量，知=+2，由此能求出f（x）解析式及单调递增区间（2）由f（x）=2+2cos（x+），知，由此能求出f（x）=2+2
28、cos（x+）的最大值和最小值（3）由f（x）=，知，由此能够求出的值【解答】解：（1）向量，=+2=2+2cos（x+），增区间是：+2k，kZ，kZ，f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+），单调递增区间是，kZ（2）f（x）=2+2cos（x+），当时，f（x）=2+2cos（x+）有最大值2+；当时，f（x）=2+2cos（x+）有最小值2（3）f（x）=，所以【点评】本题考查平面向量的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化19已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加
29、上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和 【专题】综合题【分析】（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1an，可确定公差的值，从而可求数列an的通项，进而可得公比q，故可求bn的通项公式（）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值【解答】解：（）设d、
30、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，（2+d）2=2（4+2d）d=2an+1an，d0d=2，an=2n1（nN*）由此可得b1=2，b2=4，q=2，bn=2n（nN*）（），得=+2（+），Tn=3Tn+=32，满足条件恒成立的最小整数值为c=2【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强20（13分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池
31、，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【考点】基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】不等式的解法及应用；直线与圆【分析】（）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=x2+2（0x）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=
32、t时的抛物线y=x2+2（0x）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0t）上的极大值，也就是最大值【解答】解：（I）y=x2+2，y=2x，过点M（t，t2+2）的切线的斜率为2t，所以，过点M的切线方程为y（t2+2）=2t（xt），即y=2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y22=0；（）由（I）知，切线l的方程为y=2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）地块O
33、ABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2）2=4t=4（t+）2当且仅当t=1时，取等号 当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值属中档题型21（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1在（1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1x2（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当x0 时，f（x）【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】
34、计算题；综合法；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）求导数知方程2x2+2x+a=0在（1，0）上有两不等实根，可得，即可求出实数a的取值范围；（2）确定ax2x2，可得f（x2）=x23+x22+ax2+1x23+x22+x2+1，设h（x）=x3+x2+x+1，x（，0），h（x）在（，0）递增，即可证明结论【解答】（1）解：f（x）=x3+x2+ax+1，f（x）=2x2+2x+a，由题意知方程2x2+2x+a=0在（1，0）上有两不等实根，设g（x）=2x2+2x+a，其图象的对称轴为直线x=，故有，解得0a（2）证明：由题意知x2是方程2x2+2x+a=0的大根，从而x2（，0），由于0a，ax2x2，f（x2）=x23+x22+ax2+1x23+x22+x2+1设h（x）=x3+x2+x+1，x（，0），h（x）=2（x+）2+0，h（x）在（，0）递增，h（x）h（）=，即f（x2）成立【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！
