1、第6讲 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用.1.双曲线的概念ac 时，点 M 不存在.平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.标准方程图形性质范围x_或x_，yR xR，ya或ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0
2、，a)，A2(0，a)2.双曲线的标准方程和几何性质 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)aa(续表)标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质渐近线 ybaxyabx离心率 eca，e(1，)，其中 c a2b2实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2_(ca0，cb0)a2b23.等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为 yx，离心率为 2.1.(2018
3、年浙江)双曲线x23y21 的焦点坐标是()A.(2，0)，(2，0)B.(2,0)，(2,0)C.(0，2)，(0，2)D.(0，2)，(0,2)B2.(2018 年新课标)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为()A.2B.2 C.3 22D.2 2D解析：离心率为 2，双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)为等轴双曲线，渐近线 yx，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为d|40|2 2 2.3.(2018 年北京)若双曲线x2a2y241(a0)的离心率为 52，则a_.4.(2017 年北京)若双曲线 x2y2m1
4、 的离心率为 3，则实数m_.42考点 1 双曲线的定义及应用例 1：(1)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)过点(2，0)，过左焦点 F1 的直线与双曲线的左支交于 A，B 两点，右焦点为F2，若AF2B45，且|AF2|8，则ABF2 的面积为()A.16 B.16 2C.8 2D.12 2答案：A解析：由题意，得 a2，所以|AF2|8，|AF1|4.设|BF1|x，则|BF2|x4.又|AB|AF1|BF1|x4|BF2|，AF2B45，所以ABF2 是以 B 为直角的等腰直角三角形.则|AB|BF2|4 2.则 S16.故选 A.(2)过双曲线x24y251 的左焦点
5、F1，作圆 x2y24 的切线交双曲线右支于点 P，切点为 T，PF1 的中点为 M，则|MO|MT|_.解析：由题意，得|MT|PT|PM|PF1|TF1|12|PF1|12|PF1|TF1|，则|MO|MT|12|PF2|12|PF1|TF1|12(|PF2|PF1|)|TF1|TF1|a|OF1|242 52.答案：52(3)已知 F1，F2 为双曲线 x2y22 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2()A.14B.35C.34D.45答案：C解析：由题意，可知 a 2b，c2.设|PF1|2x，|PF2|x，则|PF1|PF2|x2a2 2.故
6、|PF1|4 2，|PF2|2 2，|F1F2|4.利用余弦定理可得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|4 222 224224 22 234.考点 2 求双曲线的标准方程例 2：(1)(2017 年天津)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241C.x23y21 D.x2y231答案：D解析：|OF|c2，点 A 的坐标为(1，3)，则渐近线为y 3xbax.ba 3.又由 a2b2c2，可得 a1
7、，b 3.则双曲线的方程为 x2y231.故选 D.(2)(2018 年天津)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241C.x23y291 D.x29y231答案：C解析：设双曲线的右焦点坐标为 F(c,0)(c0)，则 xAxBc，由c2a2y2b21，可得 yb2a，不妨设 Ac，b2a，Bc，b2a，双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，据此可得：d1|cbb2|a2b2cbb
8、2c，d2|cbb2|a2b2cbb2c，d1d22bcc 2b6，b3.又双曲线的离心率 ecac2a2a2b2a21 9a22，a23.则双曲线的方程为x23y291.故选 C.(3)(2015 年新课标)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_.解析：由双曲线的渐近线方程为 y12x，可设该双曲线的标准方程为x24y2(0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424(3)2，即 1.故所求双曲线的标准方程为x24y21.答案：x24y21【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方 程为ax
9、by0，可设双曲线系方程为a2x2b2y2(0).与双曲线x2a2y2b21 共渐近线的双曲线系方程为x2a2y2b2(0).考点 3 双曲线的几何性质例 3：(1)(2016 年新课标)已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()A.(1,3)B.(1，3)C.(0,3)D.(0，3)答案：A解析：由题意，知双曲线的焦点在 x 轴上，所以 m2n3m2n4，解得 m21.因为方程 x21n y23n1 表示双曲线，所以1n0，3n0.解得n1，n0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐
10、近线交于 M，N 两点.若MAN60，则 C 的离心率为_.解析：如图 D56，作 APMN，因为圆A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，A(a,0).图 D56所以 M，N 为渐近线 ybax 上的点，且因为 AMANb，又 APMN，MAN60，所以PAN 30.点 A(a,0)到直线 ybax 的距离 AP|b|1b2a2，在 RtPAN 中，cos PANAPAN 32，则 AP 32 b.代入计算，得 a23b23(c2a2)，4a23c2，eca432 33.答案：2 33(4)若双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，P 为 E 的左
11、支上一点，且PAF60，|PA|AF|，则E 的离心率是_.解析：由题意，得PAF60，又|PA|AF|，PAF 为等边三角形.|PA|AF|PF|ac.设双曲线E的右焦点为F1，|PF1|ac22c22ac2ccos 60 3c2a2，根据双曲线定义，得|PF1|PF|2a，即 3c2a2(ac)2a.c23ac4a20.e23e40.解得 e4.答案：4【规律方法】离心率是双曲线几何性质中的一个重点问题.求离心率的常用方法有两种：求得 a，c 的值，直接代入公式eca求得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利用 b2c2a2 消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解.已知双曲
12、线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”即可，即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线方程.易错、易混、易漏 双曲线中的不等关系A.(1,4C.(1,2B.(1,4)D.(1,2)例题：(1)已知 F1，F2 分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线 C 的右支上存在点 A，满足 2|AF1|3|AF2|a，则双曲线 C 的离心率的取值范围是()答案：A解析：2|AF1|3|AF2|a，|AF1|AF2|2a，解得|AF1|5a，|AF2|3a.显然|AF1|AF2|8a|F1F2|2c，eca4.
13、(2)已知 F1，F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若在右支上存在一点 P，使 PF1 与圆 x2y24a2 相切，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(2，5)B.(5，)C.(5，)D.(5，5)解析：若在右支上存在一点 P，使 PF1 与圆 x2y24a2相切，即 PF1 的斜率小于渐近线的斜率ba，kPF 12ac24a2ba，2a25a2，c2a25，e 5.则该双曲线的离心率的取值范围是(5，).答案：B【互动探究】已知 F1，F2 分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足 2|PF1 PF2|F1F2|，则双曲线 C 的离心率的取值范围是()A.(1，2 B.(1,2C.2，)D.2，)答案：D解析：设 O 为坐标原点，由 2|PF1 PF2|F1F2|，得 4|PO|2c(2c 为双曲线的焦距)，|PO|12c.又由双曲线的性质，可得|PO|a，于是 a12c，e2.故选 D.
