1、函数的奇偶性y偶函数1 2-1-2012-1341.y=f(x)=x2xf(-1)=1,f(1)=1 即f(-1)=f(1)f(-2)=4,f(2)=4 即f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。当x=3时，f(3)=9,但f(-3)不存在，不符合偶函数的定义f(x)不是偶函数函数f(x)=x2 x(-3,3是不是偶函数？1 20-1-2-8-118xyf(-1)=-1,f(1)=1 即 f(-1)=-f(1);f(-2)=-8,f(2)=8 即 f(-2)=f(2);f(-x)=-f(
2、x)2.y=f(x)=x3奇函数设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。一.函数的奇偶性概念f(x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。f(x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且对奇函数、偶函数定义的说明:(1).定义域关于原点对称.a,b-b,-axo（2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x),具有奇偶性。练习1.说出下列函
3、数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 f(x)=x 奇函数f(x)=x-2偶函数 f(x)=x5f(x)=x-3说明：对于形如 f(x)=xn(nN*)的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。f(x)=x-1练习2.：判断下列函数的奇偶性(1).f(x)=x3 x-1,3 (2).f(x)=5 xR(2)f(-x)=5=f(x)f(x)=5是偶函数解(1)当x=3时，f(3)=27,但f(-3)不在，不符合函数奇偶性定义f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)oxy5解:(4)定义域为 0,+)定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数(3)f(x)=3 (4
4、).f(x)=xx解:(3)定义域为R f(-x)=3-x =-3x =-f(x)f(x)为奇函数(5)f(x)=0解:(5)定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数说明:函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),既奇又偶函数。奇函数说明：根据奇偶性,偶函数函数可划分为四类:既奇又偶函数非奇非偶函数练习3.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x (2)f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即 f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x
5、2f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即 f(-x)=f(x)(3).f(x)=解：定义域为 x xR 且 x1关于原点不对称是非奇非偶函数。解：1-x20|x+2|2-1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定义域为-1,0)(0,11-x2f(x)=(x+2)-2f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x-=即f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.练习4.判断函数f(x)=的奇偶性。|x+2|-21-x21-x2 x=先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:练习5.判断下列函数的奇偶性.f(x)=.f
6、(x)=|x-1|+|x+1|.f(x)=定义域为 1.不关于原点对称 是非奇非偶函数。.f(x)=定义域为-1，1 f(x)=0 是既奇又偶函数。定义域：x|x0 f(-x)=-x3+=-f(x)是奇函数。定义域为R f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)是偶函数。(2)f(x)=x2xy yx(3)f(x)=x -1oo11(1)f(x)xoy偶函数的图像特征yxyyxx(4)f(x)=x(6)f(x)=1/x(5)f(x)=x3ooo111奇函数的图像特征一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于Y轴对称函数y=x2的图像偶函数的图像特征奇函数的图像特征函
7、数y=x3的图像O一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)O二、定理、奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。、如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数。如果一个函数的图象关于y轴对称，那么 这个函数是偶函数。一个函数是偶函数它的图象关于Y轴对称。一个函数是奇函数它的图象关于原点对称。例2：已知函数y=f(x)是它的图象如图所示，画出函数y=f(|x|)的图象。xy例1：作出函数f(x)=x2-2|x|-3 的图象。13-3xy2-40-3ABDEA1B1C1D1E1COHxy例 3.已知函数 y=f(x)是
8、偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在y轴左边的图象。ABDEA1B1C1D1E1COxy例 3 已知函数 y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在y轴左边的图象。OxyABCDEA1B1C1D1E1例 4 已知函数 y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在y轴左边的图象。OxyABCDEA1B1C1D1E1例 4 已知函数 y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在y轴左边的图象。复习思考2、奇函数的图象关于原点对称设f(x)为奇函数，则有f(x)=f(x)；在f
9、(x)图象上任取一点(a，f(a)那么,点(a,f(a)也在函数f(x)的图象上所以：f(x)的图象关于原点对称、偶函数的图象关于y轴对称设f(x)为偶函数，则有f(x)f(x)在f(x)的图象上任取一点(a，f(a)那么,点(a,f(a)也在函数f(x)的图象上所以：f(x)的图象关于y轴对称（x，y）（x，y）1、与点（x，y）关于原点对称的点是。与点（x，y）关于y轴对称的点是。y0 x-a af(a)-f(a)y0 x。-a af(a)f(a)小结：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。1、定义：2、性质:f(x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。f(x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且goodbye
