1、9.13圆锥曲线压轴小题突破题型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题例1(1)(2022蓉城名校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c，0)，F2(c，0)，点P是椭圆C上一点，满足|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(xc)2y24a2，圆F2：(xc)2y2a2都内切，其中0r0)的焦点为F，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点若22，则sin2等于()A.B.C.D.答案D解析如图所示，过点M，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，C，直线l与准线交于点E，由题意可得|2|，设|FN|x，则|FM|2x，由抛物线的定义可知，|CN|x，|MD
2、|2x，所以|EN|3x，在ENC中，cosENCcos，所以sin，则sin22sincos.题型二圆锥曲线与三角形“四心”问题例2(1)在平面直角坐标系xOy中，F1(c,0)，F2(c,0)分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0，y0)是双曲线C上的一点，PF1F2的外心M的坐标为，PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx答案D解析由PF1F2的外心M，知tanMF1F2tanMF2F1，在MF1F2中，MF1F2MF2F1，即F1MF2，故F1PF2，在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1
3、|PF2|cosF1PF2，而|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|24a22|PF1|PF2|，即4c24a22|PF1|PF2|(1cosF1PF2)，|PF1|PF2|，而|PF1|PF2|sinF1PF2b2，由题意知b22a2，故双曲线的渐近线方程为yx.(2)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，过点F的直线交C于A，B两点，OAB的重心为点G，则点G到直线3x3y10的距离的最小值为()A2B.C.D2答案C解析由题意，抛物线方程为y28x，设直线AB为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程得y28my160且64(m21)0，
4、则y1y28m，x1x2m(y1y2)48m24，又OAB的重心为点G，即G，G，则G到直线3x3y10的距离d，当m时，dmin.思维升华圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力跟踪训练2(1)已知F1(1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|MF2|4，若I是MF1F2的内心，G是MF1F2的重心，记IF1F2与GF1M的面积分别为S1，S2，则()AS1S2BS1S2CS1|F1F2|2，所以M的轨迹是椭圆1在第一象限内的部分
5、，如图所示因为I是MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，所以，所以r，所以S1，又因为G是MF1F2的重心，所以OGGM12，所以，所以S1S2.(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_答案解析设OA所在的直线方程为yx，则OB所在的直线方程为yx，解方程组得所以点A的坐标为，抛物线的焦点F的坐标为.因为F是OAB的垂心，所以kOBkAF1，所以1.所以e21，解得e.题型三圆锥曲线在生活中的应用例3(1)(2022铜仁质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出
6、的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0，2)反射后，反射光线为射线AM，则F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()ABC.D.答案B解析由已知可得A(x0，2)在第一象限，将点A的坐标代入双曲线方程可得x1，解得x0，所以A(，2)，又由双曲线的方程可得a1，b，所以c，则F2(，0)，所以|AF2|2，且点A，F2都在直线x上，又|OF1|OF2|，所以tanF1AF2，所以F1AF260，设F
7、2AM的角平分线为AN，则F2AN(18060)60，所以F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150，所以直线的斜率为tan150.(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()图1图2A.B.C.D.答案B解析若内层椭圆方程为1(ab0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为1(m1)，A(ma，0)，B(0，mb)，设切线AC为yk1
8、(xma)，切线BD为yk2xmb，整理得(a2kb2)x22ma3kxm2a4ka2b20，由0知(2ma3k)24(a2kb2)(m2a4ka2b2)0，整理得k，同理可得k(m21)，(k1k2)22，即，故e.思维升华圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性跟踪训练3(1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x24y24，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于
9、点P，且|PF1|1，过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M，则|F1M|F2M|等于()A.B1C13D1答案C解析由椭圆的光学性质得直线l平分F1PF2，因为，由|PF1|1，|PF1|PF2|4得|PF2|3，故|F1M|F2M|13.(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1B2C3D2.5答案A解析清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r1)，圆的方程为x2(y
10、r1)2r2，代入双曲线方程y2x21，得y2(r1)yr0，y1或yr，要使清洁钢球到达底部，即r1.课时精练1(2022遵义模拟)双曲线1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为()A(1,0) B(0,0)C(1,0) D(2,0)答案D解析设交点为D(x，0)，用面积法，化简可得角平分线定理，由双曲线定义知|PF1|2a|PF2|6612，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(6,0)，右焦点(6,0)，所以x62(6x)，解得x2.2天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方
11、跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即k，k，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取3.1，则冥王星的公转周期约为()A157年B220年C248年D256年答案C解析设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2.则两式相除并化简得TT31640010，所以T280803.1248(年)3(2022东三省四市联考)已知直线xya与圆x2y24交于A，B两点，O为坐标原点，|，则实数a的值为
12、()A2BCD答案D解析由|得，()23()2，又O为圆x2y24的圆心，则|2，所以2，所以|cosAOB2，即cosAOB，所以AOB，所以AOB为等边三角形，则O到直线xya的距离为d，即d，解得a.4(2022郑州模拟)已知A，B是椭圆1(ab0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k20)若椭圆的离心率为，则|k1|k2|的最小值为()A1B.C.D.答案B解析设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，y0)，不妨令y00，A(a，0)，B(a，0)，则k1，k2，显然有ax0a，则|k1|k2|，因为椭圆的离心率为，即
13、e21，即ab，1x2b22y，则|k1|k2|，因为00)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为()A.B3C.D5答案C解析不妨设点M在第二象限，设M(m，n)，F2(c，0)，由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF2，则OD：yx，故有a，且n，解得m，n，将M，即M，代入双曲线的方程可得1，化简可得c25a2，即e，点M在第三象限时，同理可得e.6(2022白山联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双
14、曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2OP，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案A解析不妨设渐近线的方程为yx，因为MF2OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，将直线OM，MF1的方程联立可得M，又F1(c，0)，所以P即P，又P点在双曲线上，所以1，解得，所以该双曲线的离心率为.7已知抛物线C：y28x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1x2x3且y2b0)与双曲线C2：1(a10，b10)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2
15、的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若()A|F1F2|2|MO|，则B|F1F2|2|MO|，则2C|F1F2|4|MF2|，则e1e2的取值范围是D|F1F2|4|MF2|，则e1e2的取值范围是答案B解析如图，设|MF1|m，|MF2|n，焦距为2c，由椭圆定义可得mn2a，由双曲线定义可得mn2a1，解得maa1，naa1，当|F1F2|2|MO|时，则F1MF290，所以m2n24c2，即a2a2c2，由离心率的公式可得2，故B正确；当|F1F2|4|MF2|时，可得nc，即aa1c，可得，由0e11，可得，即1e22，则e1e2，可设2e2t(3t0，b0)的右顶点、右焦点分别
16、为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，且4，则双曲线的离心率e为_答案解析在双曲线C：1(a0，b0)中，A(a，0)，渐近线为yx，设右焦点为F(c，0)，由()0，即0，即，直线l：xa，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设B(x0，y0)，则(ax0，by0)，(ac，b)，因为4，则(ax0，by0)4(ac，b)，解得x04c3a，y03b，即B(4c3a，3b)，又点B在双曲线C上，则有1，即(4e3)210，解得e，因为e1，则e.10早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示
17、的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为_答案(x14)2y解析设桥拱所在抛物线方程为x22py，由图可知，曲线经过(20，5)，代入方程得2022p(5)，解得p40，所以桥拱所在抛物线方程为x280y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：(x14)22py，由图知抛物线C1经过点A(20，5)，则(2014)22p(5)，解得p，所以C1：(x14)2y.点A即桥拱所在抛物线x280y与C1：(x14)2y的交点坐标，设A
18、(x，y)，7x14，由解得x.所以点A的横坐标为.11(2022江苏七市调研)“康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一定理的内容是这样的：如图，ABC的三条边长分别为BCa，ACb，ABc.延长线段CA至点A1，使得AA1a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆已知a4，b3，c5，则由ABC生成的康威圆的半径为_答案解析设M是圆心，因为|A1C2|A2B1|B2C1|，因此点M到直线AB，BC，CA的距离相等，从而M是RtABC的内心，作MNAC于N，连接MC2，则|MN|CN|1，|NC2|156，所以|MC2|.12(2022苏
19、州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为_(单位：cm)答案6解析因为杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，所以球的半径为3cm，又因为杯口宽4cm，所以如图1所示，|AB|4，|C1A|C1B|3，C1DAB，所以|AD|BD|2，所以|C1D|1，所以|DE|2，又因为杯深8cm，即|OD|8，故最小距离为|OD|DE|6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为ymx2，所以将B(2，8)代入，得m1，故抛物线方程为yx2，图1图2当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2(yr)2r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即r，则有x2(x212r)0恒成立，解得12r0，可得0r.所以玻璃球的半径的取值范围为.
