1、第三章导数及其应用第四讲定积分与微积分基本定理1.2021皖南八校联考定积分-22(4-x2-sInx+x3)dx的值是()A.B.2C.2+2cos 2D.+2cos 22.2021山西太原五中模拟下列表示曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是()A.S=01(x2-x)dxB.S=01(x-x2)dxC.S=01(y2-y)dyD.S=01(y-y)dy3.2021安徽省六安中学模拟已知a=2-13,b=(2log23)-12,c=140sIn xdx,则实数a,b,c的大小关系是()A.acbB.bacC.abcD.cba4.2021河南省信阳市一检计算:
2、02(-2sIn x)dx=.5.2021贵阳市四校联考e1(x2+1x)dx=.6.已知函数f(x)=xcosx,则-22x2+f(x)dx=.7.2020江西吉安市期中若12(1x+2mx)dx=3+ln 2,则实数m的值为.8.设函数f(x)=ax2+b(a0),若03f(x)dx=3f(x0),x00,则x0=.9.二次函数f(x)=x2-nx+m(n,mR)的图象如图3-4-1所示,则定积分01f(x)dx=()图3-4-1A.23B.56C.2D.310.设f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,则-12f(x)dx的值为()A.2+43B.2+3C.4+43D.4+
3、311.2020重庆巴蜀中学模拟若-11(ax2+bsIn x)dx=1,则sIn(a-6)=.12.2020河北衡水中学二调如图3-4-2,阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为.图3-4-213.交汇题如图3-4-3,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2的图象过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.图3-4-314.2019安徽师大附中期中若f(x)+01f(x)dx=x,则01f(x)dx=.答 案第四讲定积分与微积分基本定理1.B利用定积分的运算法则,将定积分-22(4-x2-sin x+x3)dx展开
4、为-224-x2dx+-22(-sin x)dx+-22x3dx,-224-x2dx表示以(0,0)为圆心,2为半径的半圆的面积,-224-x2dx=124=2.又-22(-sin x)dx=cos x-22=cos 2-cos(-2)=0,-22x3dx=14x4-22=1424-(-2)4=0,-22(4-x2-sin x+x3)dx=2.故选B.2.B依题意,在同一平面直角坐标系下画出曲线y=x2+2与直线y=x+2的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结合图形及定积分的几何意义可知,所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为01(x-x2)dx,故选B.3.Cc
5、=-14cos x0=12=(14)12,b=3-12=(13)12c,a6=(2-13)6=14,b6=(3-12)6=127bc.4.-202(-2sin x)dx=2cos x02=2cos 2-2cos 0=-2.5.e3+23e1(x2+1x)dx=(13x3+ln x)e1=(13e3+ln e)-13=e3+23.6.163f(x)=xcosx为奇函数,-22xcos xdx=0,-22(x2+xcos x)dx=-22x2dx=13x3-22=163.7.112(1x+2mx)dx=121xdx+122mxdx=ln x12+mx212=3m+ln 2,由题意得ln 2+3m=
6、3+ln 2,故m=1.8.3依题意得03f(x)dx=03(ax2+b)dx=(a3x3+bx)03=3(ax02+b),化简得3ax02=9a(a0),即x02=3(x00),由此解得x0=3.9.B由题图可知,1+2=n,12=m,所以n=3,m=2.所以01f(x)dx=01(x2-3x+2)dx=(13x3-32x2+2x)|01=56.故选B.10.A-12f(x)dx=-111-x2dx+12(x2-1)dx=1212+(13x3-x)|12=2+43,故选A.11.-32-11(ax2+bsin x)dx=a3x3-11+0=2a3=1,a=32,sin(a-6)=sin(32
7、-6)=-cos6=-32.12.2-38记曲线y=2x2和圆x2+y2=3在第一象限内的交点为A,则A(32,32),作出射线OA,如图D 3-4-2,图D 3-4-2则射线OA的方程为y=3x(x0),则射线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=032(3x-2x2)dx=(32x2-23x3)032=3234-23338=38.记圆x2+y2=3与x轴正半轴交于点B.易知扇形AOB的圆心角为3,则扇形AOB的面积S2=1233=2,所以阴影部分的面积S=S2-S1=2-38.13.512因为函数y=ax2的图象过点C(2,4),所以a=1,即y=x2,又点A的坐标为(1,0),所以S矩形ABCD=4,阴影部分的面积S1=4-12x2dx=53,所以在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=S1S矩形ABCD=512.14.1401f(x)dx是一个常数,设为c,则有f(x)=x-c,所以x-c+01(x-c)dx=x,解得c=14.故01f(x)dx=14.
