1、3.3.2 抛物线的几何性质一、四种抛物线的几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径二、焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.1、抛物线，.2、抛物线，.3、抛物线，.4、抛物线，.【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.三、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线
2、有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.四、直线与抛物线相交弦长问题1、一般弦长设为抛物线的弦，弦AB的中点为.（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.（2）,推导：由题意，知， 由-，得.故，即.（3）直线的方程为.2、焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，的中点，过点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点
3、，根据抛物线的定义有，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.题型一 由抛物线解析式研究其几何性质【例1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）A开口向上，焦点为 B开口向上，焦点为C焦点到准线的距离为4 D准线方程为【答案】AC【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为故选：AC【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）A抛物线 的焦点坐标为 B抛物线 的准线方程为 x =1C
4、抛物线 的图象关于 x 轴对称D抛物线 的图象关于 y 轴对称【答案】C【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；抛物线 的准线方程为，故B错误；抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；故选：C.【变式1-2】下列抛物线中，开口最小的是（ ）A B C D【答案】A【解析】对于对于抛物线的标准方程中，开口最大：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小，本题选择A选项.【变式1-3】方程与在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D【答案】A【解析】变形为，此表示焦点在x轴的抛物线，排除D；当时，表示开口向右的抛物线，此时表示双曲线，排除C;当时
5、，表示开口向左的抛物线，此时表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B;选A题型二 由抛物线的几何性质求标准方程【例2】顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_【答案】【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为故答案为：【变式2-1】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.【变式2-2】抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上则抛物线方程为（ ）A B C D【答案】D【解析】由顶
6、点在原点、对称轴为轴可知，抛物线方程为在中，令，得焦点为，故故答案为D【变式2-3】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点为；（2）准线方程是；（3）对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】（1）由题意设抛物线的方程为 由焦点为，则，则所以抛物线的方程为：（2）由题意设抛物线的方程为由抛物线的准线方程是，即，则所以抛物线的方程为：（3）由题意设抛物线的方程为或由焦点到准线的距离是4，则 所以抛物线的方程为：或题型三 直线与抛物线的位置关系判断【例3】判断直线与抛物线的位置关系.【答案】直线与抛物线有两个交点【解析】联立方程得，因为，所以方程有两个不等的实
7、数根，所以直线与抛物线有两个交点.【变式3-1】已知抛物线,过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（ ）条A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得或，因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选：D【变式3-2】已知曲线的方程为，直线过定点，斜率为.（1）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求直线的方程.【答案】（1）或或；（2）或
8、或.【解析】（1）当时，直线的方程为，联立，解得，此时，直线与曲线有且只有一个交点；当时，直线的方程为，联立，消去并整理可得，整理可得，解得或；（2）当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，即；当时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或或.【变式3-3】过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为_【答案】3【解析】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得故答案为：3【变式3-4】抛物线上的点到直线的最短距离是（ ）.A B C D【答案】B【解析】，无解，故直线与抛物线没有公共点,如图所示. 设直线与抛物线相切，则直线与的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，则，所以两平行直线与的
9、距离为：.故选：B.题型四 直线与抛物线相交弦长问题【例4】设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60的直线交C于A，B两点，则（ ）A B8 C12 D【答案】B【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为故选：B【变式4-1】过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_.【答案】【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，【变式4-2】若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB
10、的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为_.（人教A版3.3.2练习）【答案】8【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，则由得，又，所以，即，所以故答案为：8【变式4-3】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，由，消去，得，设，则，所以，因为，所以，解得或（舍），当且仅当即时，取的最小值为,所以的最小值为,故选：C.题型五 抛物线的中点弦及点差法【例5】已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为_【答案】【解析】设，弦中点为，由得：，即直线的斜率，即
11、.故答案为：.【变式5-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）A8 B6 C4 D2【答案】C【解析】由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，由椭圆定义易得，又准线为，故线段的中点到y轴的距离，故选：C【变式5-2】已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|（ ）A4 B5 C D【答案】C【解析】由题意，设线段AB的中点为M(1，1)故且两式相减得：故故直线AB的方程为：，即将直线与抛物线联立：，即则故选：C【变式5-3】已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标）
12、，满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）A B C3 D4【答案】D【解析】由题意可得抛物线的焦点.弦AB的中点M的横坐标为，由已知条件可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为，则联立，消去y得，又因为弦AB的中点M的横坐标为，点A到准线的距离为，点B到准线的距离为，所以，又，故.故选：D题型六 抛物线中的定点定值最值问题【例6】已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，则直线的方程为联立可得，设、，则由抛
13、物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为（2）由题意知直线的方程为，联立得，由，得设、，得，又，所以，因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，得，解得.因为，所以的取值范围为【变式6-1】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值【答案】（1）；（2）8【解析】（1）依题意，设由抛物线的定义得，解得：，因为在抛物线上，所以，所以，解得：故抛物线的方程为（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0设直线的方程为，联立，整理得：，则，从而因为是弦的中点，所以，同理可得则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小
14、值为8【变式6-2】已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且（1）分别求与的值；（2）点与点关于原点对称，点、是异于点的抛物线上的两点，且、三点共线，直线、分别与轴交于点、，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由【答案】（1），；（2）是，【解析】（1）由已知得抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，由抛物线的定义可得，所以，于是，即，将的坐标代入圆的方程，得，所以.（2）设、，由已知可得，若直线的斜率不存在，则直线不可能过点；若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，联立
15、可得，可得，解得，因为、异于原点，则，则，因为、在抛物线上，可得，则，同理，、，则轴，所以.所以为定值【变式6-3】已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（1）求抛物线C的方程（2）求直线的斜率的取值范围；（3）设为原点，求证：为定值【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）抛物线：经过点，PF=1+2解得，故抛物线方程为：（2）由题意，直线的斜率存在且不为，设过点的直线的方程为，设，联立方程组可得，消可得，且，解得，且，则，又、要与轴相交，直线不能经过点，即，故直线的斜率的取值范围是；（3）证明：设点，则，因为，所以，故，同理，直线的方程为，令，得，同理可得，因为，为定值【变式6-4】已知抛物线C：（），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）.（1）求实数p的值；（2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P.证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】（1）由题得直线过点，.设，联立得，所以，所以.所以三角形的面积，又，解得（舍去）.所以.（2）证明：由（1）抛物线的方程为，设，不妨令，则，设直线的方程为，联立消去得，则，则直线的方程为，即，则，即，即，所以，即，令解得所以直线恒过定点
