1、3.1.1函数的概念教学设计第1课时本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第三章函数的概念与性质的第一节函数的概念及其表示（第一课时）。以下是本节两个课时的安排：第一课时第二课时课时内容函数的概念函数的表示、概念的应用所在位置教材第60页教材第64页新教材内容分析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要的作用.教材通过具体的例子介绍了区间的概念，通过同一函数的概念加深学生对函数的理解，会求函数的定义域、值域.核心素养培养通过这节内容的学习，使学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数
2、学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养数学抽象的核心素养.借助第一课时的理论依据得到同一函数的概念，通过例子让学生掌握函数定义域，函数值的求法，强化学生的数学运算、数学抽象的核心素养.教学主线函数的概念. 学生在初中已经学习过函数的概念。初中函数的概念把函数看成是两个变量之间的依赖关系。根据这个观点，有些函数很难进行深入研究。例如，对于这个函数，如果用变量观点来解释，会显得特别勉强。但用高中集合、对应的观点来解释就十分自然。但是有具体的实例归纳出函数的概念对学生的要求很高，也是一个挑战。1、学生能通过观察、辨析具体实例的共同
3、属性，逐步抽象出用集合的语言刻画的函数的概念；2、函数的概念及函数的三要素；3、学生能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值；4、通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力。重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系。（一）新知导入1. 创设情境，生成问题 比萨斜塔是意大利的标志性建筑，更是世界建筑史上的一大奇迹。比萨斜塔位于比萨城北面的一个名字叫奇迹广场上。奇迹广场的大片草坪上有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园。它们的外墙面均为乳白色
4、大理石砌成，各自相对独立但又形成统一的罗马式建筑风格。1987年12月，奇迹广场（包括大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园）被联合国教科文组织列入世界文化遗产.比萨斜塔位于大教堂后面右侧，它从地面到塔顶高55米，直径16米，总重约14453吨。塔身向东南方向倾斜，倾斜角度3.99度。某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下落的高度(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为gt2，其中g取9.8 m/s2 . 【想一想】 物体下落的高度(m)是所用时间t(s)的函数吗？【提 示】 是.2. 探索交流，解决问题【问题】 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时
5、.这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t. 其中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数. 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每 人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ 一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是w=350d. 其中，d的变化范围是数集A=1，2，3，4，5，6，w的变化范围是数集B=350，700，1 050，1400，1 750
6、，2 100.对于数集A中的任一个工作天数d，按照对应关系w=350d，在数集B中都有唯一确定的工资w与它对应. 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化 图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数(AQI)的值I?你认为这里的是t的函数吗？ 【思考1】（1）根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h之后，运行一小时就前进350 km，这种说法对吗？（2） 和中的函数有相同的对应关系，他们是同一个函数吗？（3） 你能根据图3.1-1，找到中午12时的AQI值吗？（4） 上述3个例子有什么共同特征？【
7、提示】 （1）错误；没有关注到t的取值范围。（2）不是；自变量的取值集合不同。（3）中午12时，空气质量指数为良好，数值介于50到100之间。（4）上述问题的共同特征有： 都包含两个非空的数集，用A,B来表示； 都有一个对应关系； 尽管对应关系的表示方法不同，但是集合A中的任意一个数，根据对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它相对应。【设计意图】 数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力
8、。（二）函数的概念1. 函数：一般地， 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2. 对概念的深度剖析：（1）函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)数集B唯一(唯一性)的数y与之对应. 这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.（2） 值域是集合的子集。（3）函数的三要素是定义域、对应关系、值域。 【做一做】 下列哪些是的函
9、数，为什么？； （5）某位学生的几次考试成绩情况如下：序号数123456成绩909390缺考9892 【设计意图】对函数概念正例与反例的辨析，通过学生比较、分析、概括，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体。【探究1】 确定一个函数需要几个要素？【提示】 两个，一个函数的定义域和对应关系确定，函数唯一确定。（三）函数概念的应用1.函数的概念例1 下面对应是函数关系的是_.(1)y=1(xR);(2)y= (x0);(3)y ,x0,xR;(4)路程s与时间t之间的关系.解析 (2)不是函数关系.如当x=4时,y=2,其不满足函数的定义,而(1)(3)(4)是函数关系.【
10、延伸拓展】 设M=x|-2x2,N=y|0y2,函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是()【提示】 选C.由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y是x的函数. 【类题通法】判断一个对应关系是否为函数的步骤:(1)判断A,B是否是非空实数集.(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应;(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应.提醒：1.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)数集B唯一(唯一性)的数y与之
11、对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.2.由函数定义知,任意作一条直线x=a,当与函数图象至多有一个交点时,才是函数的图像.【巩固练习1】 下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是()解析 D y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象2.求函数的定义域 【类题通法】1.求函数的定义域,其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值集合.2.函数的定义域和值域都是集合。常见函数的定义域：函数类型整式函数分式函数根式函数0次函数定义域R分母0奇次根式：R偶次根式：被开方数0底数0
12、 【巩固练习2】求常见函数的定义域。(1)y=2x+1. (2)y=+1.解析 （1）y=2x+1,是一次函数，故定义域为R.(2) 因为是偶次根式,所以函数的定义域为x|x0.（四）操作演练 素养提升1（多选题）下列四种说法中，正确的是()A在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素2. 函数f(x)的定义域为()A BC D3.设f：xx2是集合A到集合B的函数，若集合B1，则集合A不可能是()A1 B1 C1,1 D1,0【答案】1.ACD 2.D 3.D 【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。（七）课堂小结，反思感悟 1.知识总结： 2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。 完成教材：第63页 练习1,2,3第72页 习题3.1 第1题
