1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理学习目标：1.掌握余弦定理及其推论(重点).2.掌握正、余弦定理的综合应用(重点).3.能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)自 主 预 习探 新 知1余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于减去这两边与它们的的两倍公式表达a2，b2，c2变形cos A；cos Ba2c2b22ac；cos C.a2c22accos Ba2b22abcos Cb2c22bccos A其它两边的平方的和夹角的余弦的积b2c2a22bca2b2c22ab思考：在ABC中，若a2a2b2C 为；c2a2b2C 为.(2)应用余弦定理我们可以解决两
2、类解三角形问题已知三边，求.已知和它们的，求第三边和其他两个角直角钝角锐角三角夹角两边思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示 由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2a2b22abcos C，c唯一，cos Ba2c2b22bc，因为0Bb2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()答案(1)(2)(3)提示：由余弦定理可知，已知ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以ABC 是唯一的，(3)错误2在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c_.【导学号：91432030】219 根据余弦定理c2a
3、2b22abcos C1636246cos 12076，c2 19.3在ABC 中，a1，b 3，c2，则 B_.60 cos Bc2a2b22ac413412，B60.4在ABC中，若a2b2bcc2，则A_.【导学号：91432031】120 a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos Ab2c2a22bcbc2bc 12，又A为ABC的内角，A120.5以下说法正确的是_(填序号)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；在三角形中，勾股定理是
4、余弦定理的一个特例 错误由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形正确结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确正确余弦定理可以看作勾股定理的推广合 作 探 究攻 重 难已知两边与一角解三角形 在ABC中，已知b3，c3 3，B30，求角A，角C和边a.解 法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3 3)22a3 3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理sin Aasin Bb6123 1.A90，C60.法二：由bc
5、sin 303 3123 32 知本题有两解由正弦定理sin Ccsin Bb3 3123 32，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a b2c2 323 326，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.规律方法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.跟踪训练1在ABC中，a2 3，c 6 2，B45，解这个三角形.
6、【导学号：91432032】解 根据余弦定理得，b2a2c22accos B(2 3)2(6 2)222 3(6 2)cos 458，b2 2.又cos Ab2c2a22bc8 6 222 3222 2 6 2 12，A60，C180(AB)75.已知三边解三角形 已知ABC 中，abc2 6(31)，求ABC的各角的大小思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解解 设a2k，b 6k，c(31)k(k0)，利用余弦定理，有cosAb2c2a22bc6k2 312k24k22 6 31k2 22，A45.同理可得cos B12，B60.C18
7、0AB75.规律方法(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 跟踪训练2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C.【导学号：91432033】解 acb，A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos Ab2c2a22bc325272235 12，A120，sin Asin 120 32.由正弦定理 asin Acsin C，得：sin Ccsin Aa5 3275 314，最大角A为120，sin
8、C5 314.正、余弦定理的综合应用探究问题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则sin2Asin2Bsin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示：设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之将sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R代入sin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确2在ABC中，若c2a2b2，则C2成立吗？反之若C2，则c2a2b2成立吗？为什么？提示：因为c2a2b2，所以a2b2c20，
9、由余弦定理的变形cos Ca2b2c22ab0，即cos C0，所以C 2，反之若C 2，则cos C0，即a2b2c22ab0，所以a2b2c20，即c2a2b2.在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.【导学号：91432034】思路探究：解 法一：(角化边)(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：aca2c2b22acbbcb2c2a22bca，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三
10、角形法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.sin C0，sin Bcos Bsin Acos A.sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB2.ABC是等腰三角形或直角三角形母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”换为“acos Abcos Bccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状解 由余弦定理知cos A b2c2a22bc，cos B c2a2b22c
11、a，cos Ca2b2c22ab，代入已知条件得ab2c2a22bcbc2a2b22cacc2a2b22ab0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形2(变条件)将例题中的条件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”换为“lg alg clgsin Blg 2且B为锐角”判断ABC的形状解 由lgsin Blg 2lg 22，可得sin B 22，又B为锐角，B45.由lg alg clg 2，得ac 22，c 2a.又b2a2c22ac
12、cos B，b2a22a22 2a2 22 a2，ab，即AB.又B45，ABC为等腰直角三角形规律方法 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.当 堂 达 标固 双 基1已知a，b，c是ABC的三边长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60 B90C120 D150C 由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22
13、abcos C，cos C12，C120.2在ABC中，a7，b4 3，c 13，则ABC的最小角为()【导学号：91432035】A.3B.6C.4D.12B 由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则cosCa2b2c22ab724 32 132274 3 32，所以C6，故选B.3在ABC中，若a2bcosC，则ABC的形状为_等腰三角形 法一：a2bcos C2ba2b2c22aba2b2c2a，a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC为等腰三角形法二：a2bcos C，sin A2sin Bcos C，而sinAsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos B
14、sin Csin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又180BC180，BC0，即BC.ABC为等腰三角形4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2b3a，则cos A_.【导学号：91432036】13 由BC,2b 3a，可得bc 32 a，所以cos Ab2c2a22bc34a234a2a22 32 a 32 a13.5在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长解 5x27x60可化为(5x3)(x2)0，x135，x22(舍去)，cos C35.根据余弦定理，c2a2b22abcos C52322533516，c4，即第三边长为4.课时分层作业（三）点击上面图标进入 谢谢观看
