1、学案61排列与组合导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题自主梳理1排列的定义：_.排列数的定义：_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示说明：n！_，叫做n的阶乘；规定0！_；当mn时的排列叫做全排列，全排列数A_.2排列数公式的两种形式：(1)An(n1)(nm1)，(2)A，其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程3组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做_从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m
2、个元素的_，用_表示4组合数公式的两种形式：(1)C；(2)C，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m的情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等5CC_，m、kN，nN*.6组合数的两个性质：(1)C_，(2)C_.自我检测1(2010北京改编)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为_(用式子表示)2(2010广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有_种32008年9月
3、25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有_种4(2010全国改编)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_种5(2010重庆改编)某单位拟安排6位员工在6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方
4、法共有_种.探究点一含排列数、组合数的方程或不等式例1(1)求等式3中的n值；(2)求不等式6A.探究点二排列应用题例2六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人；(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端变式迁移2用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数探究点三组合应用题例3男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至
5、少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员变式迁移312名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是_1解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方
6、法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合综合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1在数字7,8,9与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，任意两个数字不相邻的全排列个数是_2(2009湖南改编)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_3(2010全国改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同
7、学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种4(2010重庆改编)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有_种56条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有_种6(2011北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)78名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的
8、第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有_场比赛8参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有_种(用数字作答)二、解答题(共42分)9(14分)(1)计算CC199200；(2)求CC的值；(3)求证：CCC.10(14分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；(4)某女生一定要担
9、任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表11(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？学案61排列与组合答案自主梳理1从n个不同的元素中取出m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m (mn)个元素的所有排列的个数n(n1)211n！3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数C5mk或mkn6.(1)C(2)CC自我检测1AA解析不相邻问题用插空法，先排学生有A种排法，老师插空有A种方法，所以共有AA种排法224解析2件书法作品看作一个
10、元素和标志性建筑设计进行排列有A种不同排法，让2件绘画作品插空有A种插法，2件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2AA24(种)31 152解析女生论文有A种展览顺序，男生论文也有A种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A种方法，故总的展览顺序有AAA1 152(种)418解析先将1,2捆绑后放入信封中，有C种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，所以共有CCC18(种)方法542解析若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C种选法，然后14日、15日有CC种安排方法，共有CCC24(种)安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人共有CCC
11、12(种)安排方法；若甲、乙都在15日值班，则共有CC6(种)安排方法所以总共有2412642(种)安排方法课堂活动区例1解题导引(1)在解有关A、C的方程或不等式时要注意运用nm且m、nN*的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算注意最后结果都需要检验解(1)原方程可变形为1，CC，即，化简整理得n23n540，解得n9或n6(不合题意，舍去)，n9.(2)由，可得n211n120，解得1n12.又nN*且n5，n5,6,7,8,9,10,11变式迁移1解(1)根据原方程，x (xN*)应满足解得x3.根据排列数公式
12、，原方程化为(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)，因为x3，两边同除以4x(x1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即4x235x690，解得x3或x (xN*，应舍去)所以原方程的解为x3.(2)根据原不等式，x (xN*)应满足故26A，得6，所以1，所以75x9.故2x8，所以x3,4,5,6,7,8例2解题导引(1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法(3
13、)不相邻问题，一般用插空处理的方法(4)分排问题，一般用直排处理的方法(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法解(1)方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A种站法，根据分步计数原理，共有AA480(种)站法方法二若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A2A480(种)站法(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步计数原理，共有AA240(种)站法(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法
14、”第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A种站法，故共有AA480(种)站法(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A种站法；最后对甲、乙进行排列，有A种站法，故共有AAA144(种)站法(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种站法，根据分步计数原理，共有AA48(种)站法(6)甲在左端的站法有A种站法，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种站法，共有A2AA504(种
15、)站法变式迁移2解依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2AA8(种)方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A种插法，不同的安排方案共有2AAA40(种)例3解题导引(1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题解(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法第二步：选2名女运动员，有C种选法共有CC120(种)选法(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”从10人中
16、任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法有CC246(种)(3)从10人中任选5人，有C种选法其中不选队长的方法有C种所以“至少1名队长”的选法有CC196(种)(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，共有C种选法其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有CC种选法故既要有队长，又要有女运动员的选法有CCC191(种)变式迁移3840解析从后排8人中选2人有C种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A.所求总数为CA840.课后
17、练习区112解析在数字7,8,9与符号“”，“”五个元素的所有排列中，先排“”，“”两个符号，有A2(种)方法；“”，“”这两个符号排好后就产生三个空位，再将7,8,9插入这三个空位中，有A6(种)排法，共有AA12(种)方法249解析丙不入选的选法有C84(种)，甲乙丙都不入选的选法有C35(种)所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有843549(种)330解析方法一可分两种情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CCCC181230(种)选法方法二总共有C35(种)选法，减去只选A类的C1(种)，再减去只选B类的C4(种)，故有30种选法41 008解析不考虑丙、丁
18、的情况共有AA1 440(种)排法在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有AA240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法丙排10月1日，丁排10月7日也有AA48(种)排法，则满足条件的排法有AA2AAAA1 008(种)515解析当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有CC1种，共CCC115(种)614解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4(个)四位数“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C6(个)四位数“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4(个)四位数综上所述，共可组成14个这样的四位数716解析每组有
19、C场比赛，两组共有2C场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，决出冠军和第3名各1场，所以共有2C21116(场)845解析从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C，再减去只选派男同志的方案数C，合理的选派方案共有CCC45(种)9(1)解CCCC2004 9502005 150.(4分)(2)解即又nN*，n7，CC2.(9分)(3)证明CC；(11分)CC，(13分)CCC.(14分)10解(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC种，后排有A种，共有(CCCC)A5 400(
20、种)(3分)(2)除去该女生后，先取后排CA840(种)(6分)(3)先取后排，但先安排该男生，有CCA3 360(种)(10分)(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共有CCA360(种)(14分)11解从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个，排成五位数，有CCA1041204 800个(6分)从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数余下的3个数加上0排在后4个数位上，有CCCA1064245 760个(12分)由分类计数原理可知这样的五位数共有CCACCCA10 560个. (14分)
