1、第3课时 函数的奇偶性与周期性一、填空题1已知函数f(x)1是奇函数，则m的值为_解析：f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，110，20，2(1ex)0，2m0，m2.答案：22设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.解析：设x0，则x0，f(x)2x3f(x)，故f(x)32x，所以f(2)3221.答案：13已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.解析：解法一：f(x)为奇函数，定义域为R，f(0)0a0a.经检验，当a时，f(x)为奇函数解法二：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即a.2a1，a.答案：4若f(x)ax2bx3ab是定义在a
2、1,2a上的偶函数，则a_，b_.解析：由a12a及f(x)f(x)，可得a，b0.答案：05设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x-5,5的图象由图象可知f(x)0的解集为：x|-2x0或2x5答案：x|-2x0或2x56 (2010全国大联考三江苏卷)定义在2,2上的偶函数f(x)，它在0,2上的图象是一条如图所示的线段，则不等式f(x)f(x)x的解集为_解析：f(x)f(x)x即f(x)，如图，由数形结合法可知不等式的解集为2,1)答案：-2,1)二、解答题7已知f(x)是R上的奇
3、函数，且当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解：设x0，则x0，f(x)(x)3x1x3x1.由f(x)为奇函数，f(x)f(x)x3x1f(x)，即f(x)x3x1.x0时，f(x)x3x1，又f(x)是奇函数f(0)0，f(x).8f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时，f(x)2x1，求f(log6)的值解：x(0,1)时，f(x)2x1.x(1,0)时，f(x)f(x)2x1，468，3log62.又f(x2)f(x)，知f(x)是周期为2的函数1log620，f(log6)f(log62)2log11.9(南京市高三调研测试)已知定义在实
4、数集R上的偶函数f(x)的最小值为3，且当x0时，f(x)3exa(a为常数)(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最大的整数m(m1)，使得存在实数t，对任意的x1，m，都有f(xt)3ex.解：(1)函数yex是增函数，所以当x0时，f(x)也是增函数又因为f(x)是偶函数，所以f(x)minf(0)3a.又f(x)的最小值是3，故3a3，a0.当x0时，因为x0，所以f(x)f(x)3ex.综上可知，f(x).(2)解法一：因为x1，m时，有f(xt)3ex，故f(1t)3e.当1t0时，3e1t3e，e1te,1t1，1t0；当1t0时，同理可得，2t1；从而必有2t0.同样地，由f(
5、mt)3em及m2，得et.由t的存在性知，上述关于t的不等式在区间2,0上必有解因为et在区间2,0上的最小值是e2，所以e2，即eme3m0，令g(x)exe3x，x2，)，则g(x)exe3.由g(x)0，得x3.当2x3时，g(x)0，g(x)是减函数；当x3时，g(x)0，g(x)是增函数故g(x)的最小值是g(3)2e30，又g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，而g(5)e3(e25)0.由此可见，方程g(x)0在区间2，)上有唯一解m0(4,5)，且当2xm0时，g(x)0；当xm0时，g(x)0.即在x2，)时满足不等式的最大实数解是m0，而当t2，x1，m0时，
6、f(x2)3ex3e(e|x2|1x)，在x1,2时，因为e|x2|1e1x1，所以f(x2)3ex0；在x(2，m0时，f(x2)3ex3e(ex3x)(exe3x)g(x)0.综上所述，m的最大整数是4.解法二：满足条件的最大整数m为4.先证m4符合题意：取t2，当x1,2时，因为f(xt)3e|x2|3e2x3e,3ex3e，所以f(x2)3ex；当x(2,4时，f(xt)3exf(x2)3ex3e(ex3x)(exe3x)，令g(x)exe3x，则g(x)exe3.由g(x)0，得x3.当2x3时，g(x)0，g(x)是减函数；当3x4时，g(x)0，g(x)是增函数；故g(x)的最大
7、值是g(2)和g(4)中的较大者因为g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，故g(x)0，即当x(2,4时，f(xt)3ex0，所以f(5t)15e.这说明x5时f(xt)3ex不成立综上所述，m的最大整数是4.1已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)当a2时，解不等式f(x)f(x1)2x1；(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由解：(1)x2(x1)22x1，0，x(x1)0.原不等式的解集为x|0x1(2)当a0时，f(x)x2.对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1得f(1)f(1)20，f(1)
8、f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论解：(1)f(1)0，且f(x)在0,7上只有f(1)f(3)0，且f(2x)f(2x)，令x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1)f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(10x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(13x)f7(13x)f(20x)，f(x)以10为周期又f(x)的图象关于x7对称知，f(x)0在(0,10)上有两个根，则f(x)0在(0,2 005上有2012402个根；在2 005,0上有2002400个根；因此f(x)0在闭区间上共有802个根w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
