1、拓展三 含参函数单调性的分类讨论(精讲)思维导图常见考法考点一 导函数有一根【例1】(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)axx2xln ab(a，bR，a1)，e是自然对数的底数，试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；【答案】(1)f(x)在(0，)上单调递增；(2)k1或2.【解析】f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.a1，当x(0，)时，ln a0，ax10，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)求函数f(x)aln x(aR)的单调递减区间.【答案】当时，f(x)的单调递减区间为(0，)，当时，f(x)的
2、单调递减区间为.【解析】易得函数f(x)的定义域是(0，)，f(x).当a0时，f(x)0时，若0x，则f(x)，则f(x)0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上可知，当时，f(x)的单调递减区间为(0，)，当时，f(x)的单调递减区间为 .2(2021河北迁安三中)已知函数.讨论函数的单调性；【答案】)答案见解析【解析】，定义域为，且，当，则，单调递增当，令，则；若，则，综上，当时，函数增区间为，无减区间当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；3(2021云南省南涧县第一中学)已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析【解析】的定义域为，.当时，在上单调递增.当时，由，得，则在
3、上单调递增；由，得，则在上单调递减.考点二 导函数有两根【例2】(2021全国高二课时练习)已知函数，.讨论函数的单调区间.【答案】答案见解析【解析】函数定义域是，当时，即时，当或时，；当时，.此时，的增区间是和，减区间是，当时，对任意的恒成立，此时，函数增区间，无减区间；当时，即时，当或时，；当时，.此时，函数的增区间是和，减区间是.综上，当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)试讨论函数的单调性【答案】答案见解析【解析】由题意知：a0，f(x)3ax26x3ax令f(x)0得3ax0(1)当a0时，
4、0，若x(，0)时，则f(x)0，所以f(x)在(，0)上是增函数；若x，则f(x)0，所以f(x)在上是增函数；(2)当a0时，0，若x，则f(x)0，所以f(x)在上是增函数；若x(0，)，则f(x)0时，函数f(x)在(，0)上是增函数；在上是减函数，在上是增函数；当a0时，函数f(x)在上是减函数；在上是增函数，在(0，)上是减函数.2(2021全国)已知函数，其中求函数的单调区间【答案】答案见解析.【解析】由，可知函数的定义域为，且()，令，得或当，即时，令，得；令，得所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为当，即时，令，得或；令，得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，
5、恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间当，即时，令，得或；令，得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为3(2021全国高二课时练习)已知函数.讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】(1)的定义域为，当，时，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在单调递增；当，时，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；综上，当，时，在上单调递增；当，时，在上单调递减，在上
6、单调递增；当，时，在上单调递减；当，时，在单调递增，在上单调递减；考法三 导函数利用判别式求根【例3】(2021全国高二课时练习)已知f(x)aln x(a为常数)，求函数的单调区间.【答案】答案见解析【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，当时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当，即时，g(x)0，则，所以函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，0， 设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，由x10，x20，且，所以当时，g(x)0，函数f(x)单调递减，当时，g(x)0，函数f(x)
7、单调递增，当时，g(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.【一隅三反】1(2021广东普宁高二期中)已知函数，讨论在定义域内的单调性【答案】答案见解析【解析】的定义域为，当时，即，所以在上是增函数当时，令，则，所以时，时，所以在上是减函数，在上是增函数；综上：当时，所以在上是增函数当时，在上是减函数，在上是增函数；2(2021黑龙江鹤岗一中(理)已知函数讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】当时，则函数在单调递增；当时，其中，若，则，函数在单调递增；若，设方程的两根分别为，则，解得：，则函数在，单调递增，在单调递减，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减3(2021全国)已知函数，试讨论的单调区间【答案】答案见解析.【解析】因为，所以，令,当时，所以的单调递增区间为，无单调递减区间当时，()当时，令，得，且，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；()当时，所以，所以的单调递增区间为，无单调递减区间当时，令，得，且，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
