1、10.1 随机事件与概率(精练)【题组一 事件类型的判断】1(2021全国高一课时练习)下列事件是必然事件的是( )A从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B函数ylogax(a0且a1)为增函数C平行于同一条直线的两条直线平行D随机选取一个实数x，得2x1时,函数ylogax为增函数，当0al时,函数ylogax为减函数.C是必然事件，实质是平行公理.D为不可能事件，根据指数函数的图像可得，对任意实数x,都有.选故：C2(2021陕西咸阳高一期末)下列事件是随机事件的是( )连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；异性电荷相互吸引；在标准大气压下，水在时结
2、冰；任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数.ABCD【答案】D【解析】中的事件为随机事件，中的事件为必然事件，中的事件为不可能事件.故选：D.3(2021全国高二课时练习)袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )A取到的球的个数 B取到红球的个数C至少取到1个红球 D至少取到1个红球的概率【答案】B【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求故选：B4(2021全国高一课时练习)(多选)下列事件是随机事件的是( )A函数f(x)x22xa的图象关于直线x1对称B某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一
3、个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码C直线ykx6是定义在R上的增函数D某人购买福利彩票一注，中奖500万元【答案】BCD【解析】A.根据二次函数 的对称轴为 ，可得f(x)x22xa图像关于x1对称，是必然事件；B.因为忘记最后一个数字，随意拨了一个数字，故是随机事件；C.因为 的不确定，所以也有可能是减函数；D.彩票由很多张，买了一张中奖，当然是随机事件；所以A为必然事件；B，C，D为随机事件故选：BCD5(2021全国高一专题练习)(多选题)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中是随机事件的是( )A3件都是正品B至少有1件次品C3件都是次品D至少有1件正品【
4、答案】AB【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，而A，B是随机事件故选：AB6(2021全国高一课时练习)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖万元；(2)三角形的内角和为；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有、的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现【答案】(1)随机事件；(2)必然事件
5、；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)不可能事件.【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；(2)所有三角形的内角和均为，所以是必然事件；(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件；(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；(5)任意抽取，可能得到、号标签中的任一张，所以是随机事件；(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件【题组二 确定样本空间】1(2021浙江台州市路桥区东方理想学校 )集合A2，3，B1，2，4，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位
6、数，则所有样本点的个数为( )A8B9C12D11【答案】D【解析】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个，故选：D2(2021河北承德第一中学 开学考试)同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是( )A3B4C5D6【答案】D【解析】因为事件A(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共包含6个样本点3(2021黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一期末)做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构
7、成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.(1)求这个试验样本点的个数；(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.【答案】(1)12；(2)(2，1)，(2，3)，(2，4).【解析】(1)当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A=(2，1)，(2，3)，(2，4).4(2021全国高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，
8、并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析【解析】(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为男，女；(2)一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为；(3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，
9、女)；(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为；(5)射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为.5(2021全国高一课时练习)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】用m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用，表示.(1)若第一次摸出的球不放回，则，此时的样本空间可表示为，
10、共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同.此时试验的样本空间可表示为，共有16个样本点.6(2021全国高一课时练习)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。(1)则样本空间如图，还可以借
11、助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果(2)“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，所以.“电路是通路”等价于，且中至少有一个是1，所以.同理，“电路是断路”等价于，或.所以.【题组三 事件关系的判断】1(2021四川眉山)某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为( )A至少有1名男生和至少有1名女生B恰有1名男生和恰有2名女生C至少有1名男生和全是男生D至少有1名男生和全是女生【答案】B【解析】对于A， “至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一个男生、一个女生”，即选项A中两个事件不互斥，A不正确；对于B，“恰有1名男
12、生”和“恰有2名女生”的事件不同时发生，即它们是互斥的，而“恰有1名男生”的对立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即选项B中两个事件不对立，B正确；对于C，“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即选项C中两个事件不互斥，C不正确；对于D，“至少有1名男生”和“全是女生”的事件不同时发生，即它们互斥，而它们又必有一个发生，即它们是对立的，D不正确.故选：B2(2021黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一期末)从1，2，3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
13、上述事件中，是对立事件的是( )ABCD【答案】C【解析】：中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C3(2021全国高一课时练习)从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为( )A“都是红球”与“至少1个红球”B“恰有2个红球”与“至少1个白球”C“至少1个白球”与“至多1个红球”D“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”【答案】D【解析】对于A选项：“至少1
14、个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个事件不互斥；对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件不互斥；对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，C中的两个事件不互斥；对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥事件，所以两个事件是互斥事件的为D.故选：D4(2021河北唐山高一期末)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球
15、都为红色”互斥而不对立的事件有( )A2个小球不全为红球B2个小球恰有1个红球C2个小球至少有1个红球D2个小球都为绿球【答案】BD【解析】从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有B，2个小球恰有1个红球； C，2个小球都为绿球，而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.故选：BD .5(2021江苏金陵中学高一期末)(多选)若
16、甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有( )A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”D“甲站排头”与“乙站排尾”【答案】AC【解析】按照站排头可分为三种情况：甲在排头、乙在排头、丙在排头，所以A正确，B错误；“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”等价于“甲站排中”与“乙站排中”是互斥的，所以C正确；“甲站排头”包括“乙站排尾”，所以D错误.故选：AC.6(2021全国高一课时练习)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“
17、其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间.(2)用集合的形式表示事件.(3)事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝).(2)(红,黄,蓝)(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),
18、(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝).(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝).(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.7(2021全国高一课时练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：(1)事件与事件是什么关系？(2)事件与事件的交事件与事件是什么关系？【答案】(1).(2)事件与事件的交事件与事件相等.【解析】(1)对于事件,可
19、能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.(2)对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.8(2021全国高一课时练习)柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么(1)写出试验的样本空间;(2)求下列事件的概率，并说明它们的关系;A=“取出的鞋不成双”B=“取出的鞋都是左脚的”；C=“取出的鞋都是一只脚的”；D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.【答案】(1)见解析；(2)；.，B与D互斥，C与D互斥，.【解析】(1)该试验的样本空间可表示为(2)由(1)得.，.，A，B，
20、C，D之间有如下关系：，B与D互斥，C与D互斥，.【题组四 事件的运算】1(2021全国高一课时练习)打靶次，事件表示“击中发”，其中、.那么表示( )A全部击中B至少击中发C至少击中发D以上均不正确【答案】B【解析】所表示的含义是、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.故选：B.2(2021全国高一课时练习)一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则( )AA与B是互斥事件BA与B是对立事件CABDAB【答案】C【解析】事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故AB.故选：C3(2021全国高一课时
21、练习)从1，2，3，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )ABCD【答案】B【解析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则，所以.故选:B.4(2021全国高一课时练习)已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.(1)如果BA，则P(AB)=_，P(AB)=_；(2)如果A，B互斥，则P(AB)=_，P(AB)=_.【答案】0.4 0.2 0.6 0 【解析】(1)因为BA，所以P(AB)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.(2)如果A，B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)
22、=0.故答案为：0.4；0.2；0.6；05(2021全国高一课时练习)在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，(1)试用样本点表示事件与；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3)试用事件表示随机事件A.【答案】(1)详见解析(2)事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.(3)【解析】由题意可知试验E的样本空间为,.(1)因为
23、事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有,即.因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有,即.所以,.(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以.因为,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.(3)因为事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为”,所以,所以.6(2021全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确
24、.(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)【答案】(1)正确；(2)错误；(3)正确；(4)正确；(5)正确；(6)正确；(7)正确；(8)正确；(9)正确；(10)正确.【解析】该试验的样本空间可表示为,由题意知,.(1),满足,所以与互斥,故正确；(2),满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,(3)正确；(4)正确；(5)正确；(6),所以,故正确；(7),故正确；(8)因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；(9)正确；(10)正确.7(2021全国高一专题练习)一个袋子中有大
25、小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？【答案】(1)详见解析(2)事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件(3)事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事
26、件的交事件.【解析】(1)所有的试验结果如图所示,用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是.同理,有,.(2)因为,所以事件包含事件R；因为,所以事件R与事件G互斥；因为,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为,所以事件R是事件与事件的交事件.【题组五 古典概型】1(2021广东佛山市南海区九江中学高二月考)为了普及环保知识，共建美丽宜居城市，某市组织了环保知识竞赛，随机抽取了甲、乙两个单位中各5名职工的成绩(单位：分)如下表
27、：甲单位8788919193乙单位8589919293(1)根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位这5名职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对环保知识的掌握更好；(2)用简单随机抽样法从乙单位名职工中抽取名，求抽取的名职工的成绩差的绝对值至少是的概率【答案】(1)，甲单位的职工对环保知识的掌握更好(2)【解析】(1)设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为，因为，所以甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对环保知识的掌握更好.(2)从乙单位名职工中抽取名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为，共个，记“抽取的名职工的成绩差的绝对值至少是”为事件，则其包含的基本事件
28、为，共个. 所以抽取的名职工的成绩差的绝对值至少是的概率.2(2021广东顺德一中)在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色3只白色的乒乓球(其体积质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.(1)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？(2)假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱？【答案】(1)(2)6000元【解析】(1)把3只黄色乒乓球标记为ABC，3只白色的乒乓
29、球标记为123，从6个球中随机摸出3个的基本事件为：123，共20个，设事件F=摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件F包含的基本事件有9个，则(2)设事件G=摸出的3个球为同一颜色=摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，则，假定一天中有500人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有50次，不发生450次.则一天可赚4501-505=200，每月可赚6000元.3(2021广东湛江二十一中)某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示组号分组频数频率第1组160，165)50.050第2组165，170)0.35
30、0第3组170，175)30第4组175，180)200.200第5组180，185)100.100合计1001.00(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第345组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第345组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概【答案】(1)35，作图见解析(2)第345组分别抽取3人2人1人进入第二轮面试(3)【解析】(1)由题可知，第2组的频数为0.35100=35人
31、，第3组的频率为，频率分布直方图如图所示，(2)因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人进入第二轮面试(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C
32、1)，(B2，C1)，共15种，其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为4(2021浙江台州市路桥区东方理想学校)从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛(1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选3人中恰有一名女生的概率；(3)求所选3人中至少有一名女生的概率【答案】(1)答案见解析(2)(3)【解析】(1)设4名男生分别为A，B，
33、C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：，共20种，(2)由(1)可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为，(3)由(1)可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为5(2021四川成都)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)求；(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数
34、(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率【答案】(1)；(2)74；(3)【解析】(1)根据频率分布直方图得：(2)根据频率分布直方图得：，(3)由于，和的频率之比为：122，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，的2人为，故随机抽取2人共有，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率6(2021江西临川一中 )某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些
35、未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量18为合格产品.(1)若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？(2)为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求2个均在内的概率.【答案】(1)该产品需要进行技术改进；(2).【解析】(1)，故该产品需要进行技术改进；(2)组的产品的个数为，组的产品
36、的个数，所以从组中抽取个，从组中抽取个，记组中抽取的5个分别为，组中抽取的一个为，则从6个中抽取2个的所有情况如下：共15种情况，其中在中恰有2个的有共10种情况，所以所求的概率.7(2021云南昆明一中 )良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.(1)估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(
37、2)在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)设中位数为，则，；(2)根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在的有6名，记为，时间在的有名，记为，从8名同学中随机取2人的基本事件为，共个，记事件为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，则包含的基本事件个数有个，所以.8(2021山东省潍坊第四中学高一开学考试)数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷(每人必选且只能选一种支付方式)，在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，
38、请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；(3)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.【答案】(1)条形统计图见解析，；(2)不同，理由见解析；(3).【解析】(1)由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55
39、%，所以共调查了人，所以用银行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，用现金支付所占比例为，所以，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90，补全统计图如图所示：(2)重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，两人恰好选择同一种支付方式的概率为.9(2021云南玉溪市江川区第二中学)某城市户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以，分组的频率分布直方图如图.(1
40、)求直方图中的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为，的三组用户中用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.【答案】(1)；(2)众数是，中位数是；(3).【解析】(1)由得，所以直方图中的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是.因为，且，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，解得，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为的用户有(户)，月平均用电量为的用户有(户)，月平均用电量在的用户有(户).抽样方法为分层抽样，在，中的用户比为，所以在，中分别抽取3户2户和1户.设参加节目的
41、2户来自不同组为事件，将来自的用户记为，来自的用户记为，来自的用户记为，在6户中随机抽取2户有，共15种取法，其中满足条件的有，共11种故参加节目的2户来自不同组的概率.10(2021湖北武汉市吴家山中学0)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)，.【解析】样本空间.(1)，所以；(2)指第一次摸出球标号小于3或者第二次摸出球标号小于3，包含，共10种情况，所以.指第一次笫二次摸出球标号均小于3，包含，共2种情况，所以.1
42、1(2021福建三明一中 )为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求的值并估计这50名学生成绩的中位数；(2)用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.【答案】(1)；中位数为；(2).【解析】(1)根据频率分布直方图得：，解得：，前三组的频率之和为0.3，前4组的频率之和为0.6，所以中位数在第四组，中位数为：.(2)设这2人来自不同组为事件，因为小组和小组的频率的比值为.所以，来自小组的有3人记为
43、，来自小组的有2人记为，从5人中随机抽取2人，基本事件为，共10个，这2人来自不同组的有，共6个，所以这2人来自不同小组的概率为.12(2021广东高州高一期末)我市甲，乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额推向国内外，创造更高的收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品参加2021年的广交会现从甲、乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测得到质量指数如下表：甲9089938791乙9288908892规定：质量指数在90以上(包括90)的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：(1)若从甲乙两个企业的优质品中随机取出
44、2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率；(2)若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是我市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？【答案】(1)；(2)应选择乙企业【解析】(1)甲企业优质品有3件，设为A，B，C，乙企业优质品有3件，设为，随机取出2件的结果有，共15种，其中取出的2件优质品中，甲乙企业各一件的结果有，共9种，所以取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率为(2)甲企业产品质量指数的平均值为，方差为，乙企业产品质量指数的平均值为，方差为因为两企业的平均值相同，且，所以乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业【题组六
45、概率的性质】1(2021河北承德第一中学)(多选)下列说法正确的是( )A任一事件的概率总在内B不可能事件的概率一定为0C必然事件的概率一定为1D概率是随机的，在试验前不能确定【答案】ABC【解析】由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值，所以，选项A，B，C是正确的，D是错误的.故选：ABC2(2021浙江台州市路桥区东方理想学校 )(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )A目标未被命中的概率为B目标恰好被命中一次的概率为C目标恰好被命中两次的概率为D目标被命中
46、的概率为【答案】CD【解析】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为，故B错误；对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；故选：CD3(2021全国高一课时练习)(多选)某学校成立了数学英语音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则( )A他只属于音乐小组的概率为B他只属于英语小组的概率为C他属于至少2个小组的概率为D他属于不超过2个小组的概率为【答案】CD【解析】由题图知参
47、加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学英语音乐小组的人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为，只属于英语小组的概率为，“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为，“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.故选：CD.4(2021河南濮阳 )人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：XX；OX；XAB；不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头
48、左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为( )A0.27B0.31C0.42D0.69【答案】B【解析】当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.故选：B5(2021辽宁凌源模拟预测)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是，两人下成和棋的概率为，则甲不输
49、的概率是( )ABCD【答案】B【解析】记事件为甲获胜，事件为两人下成和棋，则，且事件与互斥. 记事件为甲不输，则，所以甲不输的概率是.故选：B.6(2021全国高一课时练习)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等)现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.(2
50、)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)不公平，理由见解析.【解析】解：(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.由古典概型计算公式，得，又A与B对立，所以，所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
