1、5.7 三角函数的应用(精练)【题组一 圆周运动】1(2021全国高一单元测试)如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则有( )A，A3B，A3C，A5D，A5【答案】A【解析】由题目可知最大值为5， 5A12A3，则故选:A2(2021重庆北碚西南大学附中高一月考)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的
2、象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是( ) A水斗作周期运动的初相为B在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6【答案】AD【解析】对于A，由，知，所以；当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；对于B，可知，当，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，的纵坐标为，横坐标为，所以
3、，故D正确故选：AD3(2021全国高一课时练习)(多选)如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )ABC若，则D不论为何值，是定值【答案】BD【解析】设，则，则，由题意可知，可得，可得，由图可知，函数在附近单调递增，可得，所以，.对于A选项，A错；对于B选项，B对；对于C选项，由，可得，所以，解得，C错；对于D选项，D对.故选：BD.4(2021全国高一课时练习)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自
4、然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是( )AB当时，函数单调递增.C当时，函数最小值为.D当9时，【答案】BD【解析】由题，故，又当时，且，所以，故A错误：当时，所以函数在是单调递增的，故B正确：当时，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：当时，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确故选：BD5(2021全国高一课时练习)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米如果你从最低处登上摩天轮
5、，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？(2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？(4)转60分钟时，你距离地面是多少？【答案】(1)是周期现象；(2)48(分钟)；(3)42(分钟)；(4)0.5(米)【解析】(1)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象(2)每转一圈需要12分钟，
6、转四圈需要分钟(3)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，你第四次距地面最高需要：分钟(4)由已知可设，由周期为12分钟可知，当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以，即，转60分钟时，你距离地面高度为：(米)【题组二 几何问题】1(2021安徽芜湖一中高一月考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为_.【答案】15
7、米【解析】如图所示，由题得，由正弦定理可知，米，在中，米，即旗杆的高度为15米. 故答案为：15米.2(2021江苏高一期中)如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形其中CD在半径OQ上，记(1)当时，求矩形ABCD的面积；(2)求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值【答案】(1)；(2)当时，矩形ABCD的面积，最大面积为【解析】(1)在中，在中，所以，所以，设矩形ABCD的面积为S，则.(2)在中，在中，所以，所以，设矩形ABCD的面积为S，则，由，得，所以当，即时因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为3(2021江苏高一专题
8、练习)圣索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为h，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为和，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为，且与都垂直地面，如右图，那
9、么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？(结果用h，表示)【答案】高度为.【解析】解：由题可知，在中，设，则，在中，则在中，由正弦定理可知，即答：索菲亚教堂的高度为【题组三 其他问题】1(2021全国高一课时练习)在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如表所示：日期月日月日月日月日月日月日月日月日月日月日日期位置序号存活时间小时(1)试选用一个形如的函数来近似描述一年(按天计)中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.【答
10、案】(1)；(2)这种细菌一年中大约有天(或天)的存活时间大于小时.【解析】(1)由表格可知函数的最大值为，最小值为，又，当时，解得：，.(2)由得：，即，解得：，这种细菌一年中大约有天(或天)的存活时间大于小时.2(2021广东铁一中学高一月考)“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为中间部分是长为1千米的直线段，且新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧(1)试确定的值；(2)若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建
11、服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？【答案】(1)，；(2)当时，面积最大为.【解析】(1)，图象过，又，(2)由(1)知，交y轴于，又，又，又，时，此时矩形面积最大为3(2021兴仁市凤凰中学高一期末)某港口水深y(米)是时间t (0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象(1)试根据数据表和曲线，求的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船
12、底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？【答案】(1)；(2)至或至.【解析】1)根据数据，可得，函数的表达式为；(2)由题意，水深，即，1，或，；所以，该船在至或至能安全进港4(2021北京市第一六一中学)海水受日月的引，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐一般早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.
13、55.02.55.0试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是_【答案】【解析】设与之间的函数关系式为，则由表中数据可得，且，故且，所以因为当时，所以，解得，故，其中.故答案为：.5(2021全国高一课时练习)埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度(米)时间(，单位：时)的函数，记作，下面是水深与时间的数据：(时)3691215182124(米)12.015.018.114.912.015.018.015.0经长期观察，的曲线可近似地看出函数(其中，的图象.(1)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；(2)一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为
14、3米或3米以上时认为是安全的(船舶停靠时，近似认为海底是平面)，停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度(船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离)需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间).【答案】(1)；(2)18小时.【解析】(1)根据表格可得出：， ，.由可知；当时函数取最大值，即，可得，又因为，得到，函数的近似表达式为.(2)由题意得航行时，即.因为，所以.通过正弦函数图象可知，当，即时，.由于停泊时的要求恒成立，“长赐号”集装箱船如果该
15、船希望在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留小时.6(2021全国高一课时练习)某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.(1)根据图中数据，试求的表达式.(2)该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据(1)中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？【答案】(1)；(2)老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；【解析】(1)依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以(2)依题意令，即所以解得因为所以，又即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；7(2
16、021全国)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：【答案】(1)作图见解析，；(2)该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.【解析】(1)由图象可知，则有又因为时取最大值6.5，可得，所以(2)货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港.令，得得，即，当时，；当时，所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
