1、1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考试要求】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定【知识梳理】1简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示3全称命题和特称命题将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表
2、示，变量x的取值范围用M表示名称全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)【常用结论】1逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题2含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”3命题p与p的否定的真假性相反【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)命题“32”是真命题()(2)命题p和綈p不可能都是真命题()(3)“三角形的内角和为180”是特称命题()(4)命题“x0R，sin2cos2
3、”是真命题()【教材改编题】1已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题2“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形3命题“x1,2，x2xa0”为真命题，则实数a的取值范围是_答案解析x1,2，x2xa0，ax2x.当x时，(x2x)min，a.题型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2021全国乙卷)已知命题p：xR，sin x1；命题q：xR，e|x|1.则下列命题中为真命题的是()Apq B綈pqCp綈q
4、 D綈(pq)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在xR，使得sin x1，所以命题p为真命题对任意的xR，均有e|x|e01成立，故命题q为真命题，所以命题pq为真命题(2)(2022阳泉模拟)为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若pq是真命题，(綈q)r是真命题，则得第一名的是_答案甲解析由pq是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，又(綈q)r是真命题，则綈q是真命题，即 q为假命题，故得第一名的
5、是甲【备选】(2020全国)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_p1p4；p1p2；綈p2p3；綈p3綈p4.答案解析p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可
6、能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而中命题为真命题，中命题为假命题思维升华“pq”“pq”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式(2)判断命题p，q的真假(3)确定“pq”“pq”“綈p”等形式命题的真假跟踪训练1(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A(綈p)(綈q) Bp(綈q)C(綈p)(綈q) Dpq答案A解析命题p是“甲降落在
7、指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)(綈q)(2)(2022兰州质检)已知命题p：“a，b是两条不同的直线，是一个平面，若b，ab，则a”，命题q：“函数f(x)为R上的增函数”，下列说法正确的是()A“綈pq”为真命题 B“p綈q”为真命题C“pq” 为真命题 D“綈p綈q” 为真命题答案D解析若b，ab
8、，则a或a，所以命题p是假命题；函数f(x)当x1时，f(1)e01，当x时，f230，因为1f，所以f(x)在R上不是增函数，故q是假命题，所以綈p与綈q是真命题，故“(綈p)(綈q)” 为真命题题型二含一个量词的命题命题点1含有一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：n0N，n2n05，则綈p为()AnN，n22n5Bn0N，n2n05CnN，n22n5Dn0N，n2n05答案C解析由特称命题的否定可知，綈p为nN，n22答案B解析A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x0时，x20，满足x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中，因为()0不是无理数，所以C是假命题；
9、D中，对于任意一个负数x，都有2，所以D是假命题(2)下列命题是真命题的是_(填序号)aR，使函数y2xa2x在R上为偶函数；xR，函数ysin xcos x的值恒为正数；xR，x4nBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0答案B解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0”的否定形式是“nN*，f(n)N*或f(n)n”2(2022重庆模拟)下列命题为真命题的是()AxR，x2|x|10BxR，11Cx0R，(ln x0)20Dx0R，sin x03答案C解析对于A，因为x2
10、|x|120恒成立，所以xR，x2|x|10是假命题；对于B，当x时，2，所以xR，11是假命题；对于C，当x1时，ln x0，所以x0R，(ln x0)20是真命题；对于D，因为1sin x1，所以x0R，sin x03是假命题思维升华含量词命题的解题策略判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x，使p(x)成立即可当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假跟踪训练2(1)(2022哈尔滨模拟)命题“n3，nN*，xnynzn无正整数解”的否定是()An3，nN*，xnynzn有
11、正整数解Bn3，nN*，xnynzn有正整数解Cn03，n0N*，有正整数解Dn03，n0N*，有正整数解答案D解析因为命题“n3，nN*，xnynzn无正整数解”是全称命题，其否定为特称命题，于是得该命题的否定为“n03，n0N*，有正整数解”(2)下列四个命题：p1：x0(0，)，；p2：x0(0，)，sin x0x1；p4：x，x.其中真命题是()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4答案D解析对于p1，当x0(0，)时，总有成立，故p1是假命题；对于p2，当x0时，sin x0cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x0时，exx1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函
12、数yx与对数函数y在上的图象(图略)可以判断p4是真命题题型三根据命题的真假求参数的范围例4(1)命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x3x02a0”，若pq是假命题，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析若p是真命题，则ax2对于x1,2恒成立，所以a(x2)min1，若q是真命题，则关于x的方程x23x2a0有实数根，所以94(2a)14a0，即a，若p和q同时为真命题，则所以a，所以当pq是假命题时，p和q中至少有一个是假命题，可得a(1，)(2)已知f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_答案解析当
13、x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.延伸探究本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_答案解析当x1,2时，g(x)maxg(1)m，由f(x)ming(x)max，得0m，m.【备选】若命题“x1,4，x24xm0”是假命题，则m的取值范围是()A4m3 Bm0，对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若pq为真，pq为假，则实数a的取值范围是_答案(，21,2)解析若命题p为真，则4a2160，2a1，a1.pq为真，pq为假，则p真q假或
14、p假q真；或1a2或a2，实数a的取值范围为1a解析因为命题“x0R，使axx020”是假命题，所以命题“xR，使得ax2x20”是真命题，当a0时，得x0”是假命题，不符合题意；当a0时，得解得a.课时精练1命题“x0，xsin x0，xsin x2x1Bx00，x0sin x01Cx0，xsin x0，xsin x0，x0sin x01”2“pq是真命题”是“pq是真命题”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若pq是真命题，则p，q都是真命题，则pq为真命题；若pq为真命题，则p，q至少有一个为真命题，当p真q假时，pq为假命题，故pq为真命题推
15、不出pq为真命题3命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()AxR，1f(x)2Bx0R，12DxR，f(x)1或f(x)2答案D解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x0R，12”4下列命题的否定是真命题的是()A有些实数的绝对值是正数B所有平行四边形都不是菱形C任意两个等边三角形都是相似的D3是方程x290的一个根答案B解析所有平行四边形都不是菱形为假命题，所以其否定为真命题5若命题“pq” 与命题“(綈p)q”都是假命题，则()Ap真q真 Bp真q假Cp假q真 Dp假q假答案B解析因为命题“pq”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则綈p为真命题，则(綈p)q
16、为真命题，与命题“(綈p)q”是假命题矛盾，故必有p为真命题，q为假命题6下列命题为真命题的是()Ax0R，ln(x1)2，2xx2C，R，sin()sin sin Dx0R，sin x0cos x0答案C解析x211，ln(x21)ln 10，故A为假命题；当x4时，2xx2，故B为假命题；当0时，sin()0sin sin ，故C为真命题；sin x0cos x0sin，sin x0cos x0，故D为假命题7命题p：ABC中，若sin A，则cos A.命题q：函数y|x1|在(2，)上单调递增下列命题是真命题的为()Apq BpqCp(綈q) D綈q答案B解析ABC中，sin A，则A
17、30或150，cos A，故p为假命题，函数y|x1|的单调递增区间为(1，)，该函数在(2，)上单调递增，故q为真命题，pq为真命题8(2022西北师大附中质检)已知命题p：x0R，mx10，命题q：xR，x2mx10.若pq为假命题，则实数m的取值范围为()A2m2 Bm2或m2Cm2 Dm2答案D解析命题p：x0R，mx10为假命题，所以m0，命题q：xR，x2mx10，所以m240，解得2m0”，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析綈p为假命题，则p为真命题，即x1,2，x2ax10恒成立，即ax，又x22，当且仅当x1时取等号，a2.11给出以下命题：x0R，sin
18、2cos2；对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2；命题“x0R，0”的否定是“xR，x10”；xR，cos xx.其中是真命题的是_(填序号)答案解析sin2cos21，故为假命题；因为tan，故为假命题；命题“x0R，0”等价于“x0R，x010,2xa0.若“綈p”和“pq”都是假命题，则实数a的取值范围是_答案 (1,2)解析若方程x2ax10没有实根，则判别式a240，即2a2，即p：2a0,2xa0，则a0时，2x1，则a1，即q：a1.因为綈p是假命题，则p是真命题因为pq是假命题，则q是假命题，即得1a0且a1)的图象恒过定点(0,1)；命题q：当t(2,
19、2)时，函数g(x)x23tx1在区间(3,3)上存在最小值则下列命题为真命题的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)答案C解析f(x)ax1，当x1时，f(1)a111，所以其图象恒过定点(1,1)，故命题p为假命题；g(x)x23tx121t2，因为t(2,2)，所以t(3,3)，所以二次函数对称轴在区间(3,3)之内，当xt时，g(x)取得最小值，故命题q为真命题所以pq是假命题，p(綈q)是假命题，(綈p)q是真命题，(綈p)(綈q)是假命题14已知aR，则使命题“x，x2sin xa0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa1 Ba2Ca0，则函数f(x)x2si
20、n x在上单调递增，x，f(x)f，所以原命题为真命题的充要条件为a，又12，所以C正确15已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则f(ab)_.答案0解析“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”的否定是“x(a，b)，f(x)f(x)0”，依题意得，命题“x(a，b)，f(x)f(x)0”为真命题，故函数yf(x)，x(a，b)为奇函数，ab0，f(ab)f(0)0.16f(x)x26x3，记maxp，q表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)max，若m2，且x1m，2，x20，)，使f(x1)g(x2)成立，则m的最小值为_答案5解析yx2为减函数，ylog2(x3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x1时，x2log2(x3)由题意得，g(x)在0，)上，g(x)ming(1)2，g(x)的值域为2，)，f(x)(x3)266.“x1m，2，x20，)，使f(x1)g(x2)成立”等价于f(x)在m，2上的函数值域是g(x)在0，)上的值域的子集，作函数yf(x)，yg(x)的图象，如图所示，令f(x)x26x32，解得x5或x1，则m的最小值为5.
