1、考纲要求考纲研读1.以空间直线、平面位置关系的定义及四个公理为出发点认识和理解空间中的平行关系2理解直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理3理解并能证明直线和平面平行、平面和平面平行的性质定理4能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.从立体几何的有关定义、定理和公理出发，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定2正确使用线面平行判定的关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；要证面面平行可转化为线面平行线线、面面的平行具有传递性，明确线线、线面及面面平行的判定方法及相互转化是正确解答有关平行问题的关键.第4讲 直线、平面平行的判定与性
2、质 1直线与平面平行判定定理平面内如果平面外的一条直线与_的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行用符号可表示为 a，b，aba.2平面与平面平行判定定理相交如果一个平面内的两条_直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行用符号可表示为：a，b，abP，a，b.3直线与平面平行性质定理相交线一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平a，面的_与该直线平行用符号可表示为：a，bab.4平面与平面平行性质定理平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线_用符号可表示为，a，bab.1下列命题中，正确命题的个数是()A若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l；若直线l与平面平
3、行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A1 个B2 个C3 个D4 个2已知直线 l 及三个平面，给出下列命题：若 l，l，则；若，则；若 l，l，则；若 l，l，则.其中真命题是()CABCD3已知直线 a，b 与平面，使得的条件是()CAa，b，abBb，bCa，bDa，a4对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线 l，直线 m，使得 lm；存在异面直线 l，m，使得 l，l，m，m.其中，可以判定与
4、平行的条件有_(写出符合题意的序号)5给出下面四个命题：过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等其中正确的命题序号为_.考点1 直线与平面平行的判定与性质例1：(2011 年广东广州一模)如图 1341，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，A1AAB2，BC3.(1)求证：AB1平面 BC1D；(2)求四棱锥 BAA1C1D 的体积图 1341解析
5、：如图D26.(1)证明：连接B1C，设 B1C 与 BC1 相交于点O，连接OD.四边形BCC1B1 是平行四边形，点 O 为 B1C 的中点D 为AC 的中点，OD 为AB1C 的中位线ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面 BC1D，AB1平面BC1D.图 D26(2)解法一：AA1平面 ABC，AA1平面 AA1C1C，平面ABC平面 AA1C1C，且平面 ABC平面 AA1C1CAC.作 BEAC，垂足为 E，则 BE平面 AA1C1C.ABBB12，BC3，在 Rt ABC 中，AC AB2BC2 49 13，BEABBCAC 613，四棱锥 BAA1C1D 的体积为 V1312
6、A1C1AD AA1BE1632132 6133.四棱锥 BAA1C1D 的体积为 3.解法二：AA1平面 ABC，AB平面 ABC，AA1AB.BB1AA1，BB1AB.ABBC，BCBB1B，AB平面 BB1C1C.取 BC 的中点 E，连接 DE，则 DEAB，DE12AB.DE平面 BB1C1C.三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V12ABBCAA16，则1DBCCV 1312BCCC1DE16V1，111ABB CV 1312B1C1BB1A1B113V2.而 V1DBCCV 111ABB CV 111BAAC DV，61211BAAC DV.11BAAC DV 3.四棱锥 BA
7、A1C1D 的体积为 3.证明直线与平面平行，关键是在平面内找一条 直线 b，使ab，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线有中点的常作中位线【互动探究】1(2011 年福建)如图 1342，正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_.图 1342解析：因为 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面 AB1C与平面 ABCD 的交线为 AC，所以 EFAC.又点 E 为 AD 的中点，所以 EF 为DAC 的中位线所以 EF12AC.因为 AB2，ABCD为正方形，所以 AC2 2.所
8、以 EF 2.答案：2考点2 平面与平面平行的判定与性质例2：如图 1343，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F 在 BD 上，且B1EBF，求证：EF平面 BB1C1C.图 1343证法一：连接 AF 并延长交 BC 于 M，连接 B1M，ADBC，AFD MFB，AFFMDEBE.又BDB1A，B1EBF，DFAE.AFFM AEB1E.EFB1M，B1M平面 BB1C1C.EF平面 BB1C1C.证法二：作 FHAD 交 AB 于 H，连接 HE.ADBC，FHBC，BCBB1C1C.FH平面 BB1C1C.由 FHAD 可得BFBDBHBA.又 BFB1E，BDAB1
9、，B1EAB1BHBA.EHB1B，B1B平面 BB1C1C.EH平面 BB1C1C，EHFHH.平面 FHE平面 BB1C1C，EF平面 FHE.EF平面 BB1C1C.证法一用了证线面平行，先证线线平行证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内【互动探究】2如图 1344，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC 的中点，求证：平面EFG平面 BB1D1D.图 1344证明：E为中点，F为中点，EF为中位线，则EFBD，又EF平面BB1D1D，BD平面BB1D1D，故EF平面BB1D1D；连接SB，同理可证EG平面
10、BB1D1D，又EFEGE，得平面EFG平面BB1D1D.考点3 线面、面面平行的综合应用 例3：已知：有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 APDQ，求证：PQ平面 CBE.证法一：如图 1345，连接 AQ 并延长交 BC 于 G，连接EG，则AQQGDQQB.APDQ，PEBQ，AQQGAPPE.PQEG.又 PQ平面 BCE，EG平面 BCE，PQ平面 BCE.CDAB，AEBD，PEBQ，PKQH.四边开 PQHK 是平行四边形PQKH.又 PQ平面 BCE，KH平面 BCE.PQ平面 BCE.证法二：如图
11、 1346，分别过 P，Q 作 PKAB，QHAB，则 PKQH.连接 KH，则PKABPEAE，QHCDBQBD.证法三：如图 1347，过 P 作 POEB，连接OQ，则 OQADBC.平面 POQ平面BEC.又 PQ平面 BEC，故 PQ平面 BEC.EPPABOOA，EPPABQQDBOOABQQD，证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与 已知直线平行，证法一是作三角形得到的；证法二是通过作平行 四边形得到在平面内的一条直线KH；证法三利用了面面平行的性质定理【互动探究】3设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则 mn；若，m，则 m；若 m
12、，n，则 mn；若，则.其中正确命题的序号是()AA和B和C和D和解析：和显然正确，中m 与n 可能相交、平行或异面，考虑长方体的顶点，与可以相交易错、易混、易漏21两平行平面内的任意直线不一定平行例题：设 AB，CD 是夹在两个平行平面，之间的异面线段，M，N 分别为AB，CD 的中点求证：直线 MN.证法一：设过CD 与点 A 的平面与相交于 DE，且使 DEAC(如图1348)，ED，AC，ACED.设P 为AE 的中点，连接 PN，PM，BE，则 PNED.又PN，ED，PN.同理可证 PM.PMPNP，平面 PMN平面.又MN平面 PMN，MN.证法二：如图1349，连接 AD，取
13、AD 的中点 Q，连接 QM，QN，AC，BD.Q，N 分别为 AD，CD 的中点，QNAC.QN，AC，QN.，QN，QN，QN.同理可证 QM.QMQNQ，平面QMN.MN平面 QMN，MN.【失误与防范】本题最容易出现的错误是：，ACBD，M，N分别为AB，CD的中点，则MNACBD，MN.出错的根本原因在于错误地认为两平行平面内的两直线是平行的.由于 AB，CD异面，显然AC，BD也异面.本题的证法较多，解题关键是如何处理好条件：AB 和CD是两异面线段.证法一实质上是 把CD在两平行平面间沿着同一方向移到AE 位置，AB 和AE可确 定一平面，借助于平面几何知识来处理问题；证法二是借
14、助于空 间四边形的对角线AD，把AB 和CD分别放在两相交平面内来研究.本题还可以连接CM 延长交于点R，证明MNRD 即可.1直线与平面平行判定方法：利用定义；判定定理；如果两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面2平面与平面平行判定方法：利用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行3平面平行的判定定理与性质定理的作用，都集中在“平行”两字上，判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行的条件下可以获得什么样的结论”，前者给出了判定两个平面平行的方法，后者给出了一种判定两条直线平行的方
15、法1直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行要注意线线平行的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线对于本定理要注意避免“一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的错误2直线与平面平行判定定理要具备三个条件：(1)直线 a 在平面外；(2)直线 b 在平面内；(3)直线 a，b 平行三个条件缺一不可平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，必须注意“相交”的条件3利用线面平行的判定定理时经常要作辅助线，利用线面平行的性质定理时经常要作辅助面，无论作辅助线还是辅助面，都得有理有据，不能随意去作，如果已知条件中出现中点的话，中位线是首选
