1、第67课时 导数的概念及几何意义一、选择题1若f(x0)2,则等于()A1 B2 C1 D.解析:f(x0),f(x0)21.答案:A2 设f(x)在x0处可导,且f(x0)0,则nf等于()Af(x0) Bf(x0) Cnf(x0) Dnf(x0)解析:nff(x0)答案:B3 曲线f(x)x3x2在P0点处的切线平行于直线y4x1, 则P0点的坐标为()A(1,0) B(2,8)C(1,0)或(1,4) D(2,8)或(1,4)解析:设P0点的坐标为(x0,y0),由f(x)x3x2得:f(x)3x21,令f(x0)4,即3x14得x01或x01,P0点的坐标为(1,0)或(1,4)答案:
2、C4设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A B0 C. D5解析:由已知f(x)是R上以5为周期的奇函数,则f(5)f(0)0.答案:B二、填空题5 设f(x)在x0处可导,则的值等于_答案:2f(x0)6 过原点作曲线yex的切线,则切点的坐标为_,切线的斜率为_解析:设切点坐标为(x0,y0),由yex知yex,则y|xx0ex0,ex0,即ex0,则x01,因此切点坐标为(1,e)斜率为e.答案:(1,e)e7 曲线yx3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴,直线xa所围成的三角形面积为,则a_.解析:由yx3知y3x2,则y|xa3a
3、2.因此切线方程为ya33a2(xa)即y3a2x2a3,令y0得:x,令xa得ya3根据已知条件|a|a3|,解得:a1.答案:1三、解答题8 若f(x)在R上可导,(1)求f(x)在xa处的导数与f(x)在xa处的导数的关系;(2)证明:若f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数解答:(1)f(x)在xa处的导数与f(x)在xa处的导数互为相反数(2)证明:f(x)f(x)f(x)为奇函数9 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线,叫做曲线在该点的法线已知抛物线C的方程为yax2(a0,x0),点M(x0,y0)是C上任意一点,过点M作C的法线m.(1)求法线m在y轴上截距的取值范围;(2
4、)设点F是抛物线的焦点,连结FM.过点M作平行于y轴的直线n,如图所示求证:.解答:(1)由yax2得y2ax,k2ax0.又x0,.因此过M点曲线C的法线方程为yy0(xx0),令x0,则yy0;由y00,知y.法线在y轴上截距的范围是.(2)证明:tan,kFM,tan 2ax0,tan,tancot ,.10已知抛物线yx2上两点A、B,且直线AB过抛物线yx2的焦点F,过A、B分别作抛物线的切线相交于P点(1)求P点的轨迹方程;(2)证明PFAB.解答:(1)设A(x1,x),B(x2,x),由yx2得y2x,则y|xx12x1,y|xx22x2,直线PA和PB的方程分别为yx2x1(
5、xx1)yx2x2(xx2)又直线AB过F(0,),则x1(x)x2(x),整理得x1x2由解得x,yx1x2,P点轨迹方程为y.(2)证明:P(,),(,),又(x2x1,xx),又0,即PFAB. 1(2009江西)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切,则a等于()A1或 B1或 C或 D或7解析:设曲线yx3上的切点为(x0,x),由y|xx03x知:3x,整理得:2x3x0.解得x00,或x0.则公切线斜率为k,或k0.因此切线方程为y(x1),或y0.当切线方程为y(x1)时,求得a1;当切线方程为y0时,求得a.答案:A2 已知抛物线C1:yx22x和C2:y
6、x2a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分解答:(1)函数yx22x的导数y2x2,曲线C1在点P(x1,x2x1)的切线方程是y(x2x1)(2x12)(xx1),即y(2x12)xx,函数yx2a的导数y2x,曲线C2在点Q(x2,xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2),即y2x2xxa,如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程,消去x2得方程:2x2x11a0,若判别式442(1a)0时,即a时,解得x1,此时点P与Q重合,即当a时C1和C2有且仅有一条公切线,由得公切线方程为:yx.(2)证明:由(1)可知,当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中P在C1上,Q在C2上,则有x1x21,y1y2x2x1(xa)x2x1(x11)2a1a,线段PQ的中点为,同理,另一条公切线段PQ的中点也是.公切线段PQ和PQ互相平分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m