1、第67课时 导数的概念及几何意义一、选择题1若f(x0)2，则等于()A1 B2 C1 D.解析：f(x0)，f(x0)21.答案：A2 设f(x)在x0处可导，且f(x0)0，则nf等于()Af(x0) Bf(x0) Cnf(x0) Dnf(x0)解析：nff(x0)答案：B3 曲线f(x)x3x2在P0点处的切线平行于直线y4x1, 则P0点的坐标为()A(1,0) B(2,8)C(1,0)或(1，4) D(2,8)或(1，4)解析：设P0点的坐标为(x0，y0)，由f(x)x3x2得：f(x)3x21，令f(x0)4，即3x14得x01或x01，P0点的坐标为(1,0)或(1，4)答案：
2、C4设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A B0 C. D5解析：由已知f(x)是R上以5为周期的奇函数，则f(5)f(0)0.答案：B二、填空题5 设f(x)在x0处可导，则的值等于_答案：2f(x0)6 过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_解析：设切点坐标为(x0，y0)，由yex知yex，则y|xx0ex0，ex0，即ex0，则x01，因此切点坐标为(1，e)斜率为e.答案：(1，e)e7 曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴，直线xa所围成的三角形面积为，则a_.解析：由yx3知y3x2，则y|xa3a
3、2.因此切线方程为ya33a2(xa)即y3a2x2a3，令y0得：x，令xa得ya3根据已知条件|a|a3|，解得：a1.答案：1三、解答题8 若f(x)在R上可导，(1)求f(x)在xa处的导数与f(x)在xa处的导数的关系；(2)证明：若f(x)为偶函数，则f(x)为奇函数解答：(1)f(x)在xa处的导数与f(x)在xa处的导数互为相反数(2)证明：f(x)f(x)f(x)为奇函数9 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线已知抛物线C的方程为yax2(a0，x0)，点M(x0，y0)是C上任意一点，过点M作C的法线m.(1)求法线m在y轴上截距的取值范围；(2
4、)设点F是抛物线的焦点，连结FM.过点M作平行于y轴的直线n，如图所示求证：.解答：(1)由yax2得y2ax，k2ax0.又x0，.因此过M点曲线C的法线方程为yy0(xx0)，令x0，则yy0；由y00，知y.法线在y轴上截距的范围是.(2)证明：tan，kFM，tan 2ax0，tan，tancot ，.10已知抛物线yx2上两点A、B，且直线AB过抛物线yx2的焦点F，过A、B分别作抛物线的切线相交于P点(1)求P点的轨迹方程；(2)证明PFAB.解答：(1)设A(x1，x)，B(x2，x)，由yx2得y2x，则y|xx12x1，y|xx22x2，直线PA和PB的方程分别为yx2x1(
5、xx1)yx2x2(xx2)又直线AB过F(0，)，则x1(x)x2(x)，整理得x1x2由解得x，yx1x2，P点轨迹方程为y.(2)证明：P(，)，(，)，又(x2x1，xx)，又0，即PFAB. 1(2009江西)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或 C或 D或7解析：设曲线yx3上的切点为(x0，x)，由y|xx03x知：3x，整理得：2x3x0.解得x00，或x0.则公切线斜率为k，或k0.因此切线方程为y(x1)，或y0.当切线方程为y(x1)时，求得a1；当切线方程为y0时，求得a.答案：A2 已知抛物线C1：yx22x和C2：y
6、x2a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分解答：(1)函数yx22x的导数y2x2，曲线C1在点P(x1，x2x1)的切线方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函数yx2a的导数y2x，曲线C2在点Q(x2，xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，消去x2得方程：2x2x11a0，若判别式442(1a)0时，即a时，解得x1，此时点P与Q重合，即当a时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为：yx.(2)证明：由(1)可知，当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有x1x21，y1y2x2x1(xa)x2x1(x11)2a1a，线段PQ的中点为，同理，另一条公切线段PQ的中点也是.公切线段PQ和PQ互相平分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m