1、专题36 运用裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和常见的裂项技巧.一、题型选讲例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公比为，即：，解得：.，.（2），.例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目已知Sn为等差数列的前n项和，若(1)求an；(2)令，求数列的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列
2、中，解得若选择条件(2)，在等差数列中，解得；若选择条件(3)，在等差数列中al=Sl=3，当n2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -(n-l)2 +2(n -1)= 2n+l，a1也符合，an=2n+1；(2)由(1)得，例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和及通项公式；（2） 记，为的前n项和，求【解析】(I)由已知有，数列为等差数列，且，即，当时，又也满足上式，；(II)由(1)知，例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）
3、当时，整理得，解得；当时，可得，得，即，化简得，因为，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；（2）由（1）知，因为，.例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和，及通项公式；（2）记，为的前n项和，求.【解析】（I）由已知有，数列为等差数列，且，即，当时，又也满足上式，；（II）由（1）知，例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【解析】 (1)设数列的公差为，由题意知: 又因为成等比数列，所以，又因为，所以. 由得，所以， ， .(2)
4、因为，所以所以数列的前项和.例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2）， ，若，则，整理得，又，整理得，解得，又，存在满足题意例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以当时，上述两式相减并整理，得.又因为时，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2
5、）由（1）可知，.所以.二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列an的前n项和为Sn，且an0，4Sn=an2+2an.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=S1-SnSnS1，求数列bn的前n项和Tn.【解析】（1）当n=1时，4a1=a12+2a1，整理得a12=2a1，a10，解得a1=2；当n2时，4Sn=an2+2an，可得4Sn-1=an-12+2an-1，得4an=an2-an-12+2an-2an-1，即an2-an-12-2an+an-1=0，化简得an+an-1an-an-1-2=0，因为an0，an+an-10，所以an-an-1=2，从而
6、an是以2为首项，公差为2的等差数列，所以an=2+2n-1=2n；（2）由（1）知Sn=na1+an2=n2+2n2=nn+1，因为bn=S1-SnSnS1=1Sn-1S1=1nn+1-12=1n-1n+1-12，Tn=b1+b2+bn=11-12-12+12-13-12+1n-1n+1-12=11-12+12-13+1n-1n+1-12n=1-1n+1-12n.2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.【解析】（1），.，为常数，是等差数列.（2），.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.(
7、1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得. (2)前项和.4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和.【解析】 (I) ，故，解得，故，.(II)，故.5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知所以所以数列的前项和：所以数列的前项和6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Sn2an(Sn)(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn【解析】：(1)因为Sn2an(Sn)，当n2时，Sn2(SnSn1)(Sn)，即2Sn1SnSn1Sn2分由题意得Sn1Sn0，所以2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列5分所以12(n1)2n1，得Sn7分(2)易得bn8分()，10分所以Tn(1)()()(1)
