1、理科数学 第1页，共4页.高三第七次模拟考试数学（理科）试题 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1已知集合 A1，3，a2，B1，a+2，若 ABB，则实数 a 的取值为（）A1B1 或 2 C2D1 或 12已知,x yR，则“1x 且2y”是“3xy+”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3函数 fx 定义如下表，数列nx满足02x，且对任意的自然数均有1nnxfx，则2022x（）x12345fx51342A1B2C4D54.要考察某公司生
2、产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标，现从 500 袋牛奶中抽取 50 袋进行检验，将它们编号为 000，001，002，499，利用随机数表抽取样本，从第 8 行第 5 列的数开始，按 3 位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续则所抽取样本第三袋牛奶的编号是（）（下面摘取了某随机数表的第 7 行至第 9 行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 2176335025 83921 20676 63016 47859 16955 5671998105 07185 12867 35807 44395 23879 33211A358B169C455D2
3、065.运行如图所示程序后，输出的结果为（）A15B17 C19 D216.若(),cos2sintan 22=，则tan=（）班级 姓名 考号 理科数学 第2页，共4页.A53B53 C1515D 15157.将 4 个 9 和 2 个 6 随机排成一行，则 2 个 6 不相邻共有()种不同的排法.A240B120C20D108.已知双曲线()222210,0 xyabab=的左、右焦点分别为12,F F，点 P 在双曲线的右支上，且124PFPF=，则此双曲线的离心率 e 的最大值为()A.43B.53C 2D.739.已知数列 na的前n 项和为nS，满足()*3N2nnSan n=+，
4、则2021a=（）A20211 3B20201 3 C20201 2 3 D202112 3 10.刍甍（ch mng）是中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”已知图中每个小正方形的边长都为 1，其中的粗线部分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的体积为（）A 512 B39 C12 D1511.已知函数3()23f xxx=，若过点(1,)Pt 存在 3 条直线与曲线()yf x=相切，则 t的取值范围是（）A.3,1)B.2,1C.(,3(1,1)D.(3,1)
5、12.在矩形 ABCD中，2,2 3ABAD=，沿对角线 AC 将矩形折成一个大小为 的二面角BACD，若1cos3=，则下列结论中正确结论的个数为（）四面体 ABCD外接球的表面积为16点 B 与点 D 之间的距离为2 3四面体 ABCD的体积为 4 23异面直线 AC 与 BD所成的角为 60理科数学 第3页，共4页.A1B2C3D4 二、填空题(本大题共 4 个小题，每空 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡上)13.抛物线214yx 的准线方程是_.14.设复数1z，2z 满足12|=|=2zz，123izz+=+，则12|zz=_15.已知在平行四边形 ABCD中，12DEEC
6、=，12BFFC=，|2AE=，|6AF=，则 AC DB值为_16.等差数列 na中15141024aaaa+=+，513aa=.若集合*122nnnNaaa+中仅有 2 个元素，则实数 的取值范围是_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且3sincos3aC cAc，A 为锐角（1）求 A；（2）若 a2，bc，BABCAC，求 b，c 的值18.（本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，点()0,3A，直线l:24yx=.设圆 C
7、 的半径为 1，圆心在直线l 上（1）若圆心 C 也在直线1yx=上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使2MAMO=，求圆心 C 的横坐标a 的取值范围19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAB90，底面 ABCD 为梯形，ABCD，CD2AB2 2，BCBDPAD 中，PAD120，PAAD2（1）求三棱锥 PABD 的体积；（2）求二面角 BPDC 的余弦值20.（本小题满分 12 分）甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为 p（0p1）理科数学 第4页，共4页.（1）若比赛采用五局三胜制，则求
8、甲在第一局失利的情况下，最终甲获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制，且 p0.5，则比赛结束时，求甲胜的局数 X 的分布列和方差；（3）结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响21.（本小题满分 12 分）已知函数()()eRxf xaxa a=+，其中e是自然对数的底数（1）求()fx 的极小值；（2）当0a 时，设()fx为()fx 的导函数，若函数()fx 有两个不同的零点12,x x，且12xx，求证：12122(3ln)x xfafxx+选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小
9、题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为12:1xttCytt=+=（t 为参数），以直角坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若,A B 是曲线C 上的两点，且0OA OB=，求 AB 的最小值23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数()2f xxaxa=+.（1）若b 为非零实数，1abb=+，证明：()6f x；（2）若1mn+=，对()0,1,Rm nx，使得()41f xmn+，求a 的取值范围.七模数学理科答案一、选择题二、填空题13.1y .14.2 315.9
10、216.92 4，三、解答题17.解：（1）由，得sinAsinC+sinCcosAsinC，sinA+cosA，2sin（A+），sin（A+），0A，A，A+，A；（2），|2|+|2，0，B90，sinA，b4，由勾股定理可得 c218.（1）由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，2311kk1，解得 k0 或 34，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.（2）因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21.设点 M(x，y)，因为
11、MA2MO，所以222xy，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆C 与圆 D 有公共点，则|21|CD21，即 12223aa3.由 5a212a80，得 aR；123456789101112CABBDCDBADDB由 5a212a0，得 0a125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0，12519.解：（1）取 CD 的中点 F，BCBD，BECD，ABCD，且 ABDE，四边形 ABED 是矩形，ABAD，PAAB，且 ADAPA，AB平面 PAD，三棱锥 PABD 的体积为：
12、VPABDVBADP（2）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，过点 A 作平面 PAD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），（0，3，），（，1，），（2，3，），设平面 PBD 的法向量（x，y，z），则，取 z，得（），同理得平面 PCD 的一个法向量为（0，1，），cos二面角 BPDC 的余弦值为20.解：（1）记 A 表示甲在第一局失利，B 表示甲获得了比赛胜利，则P（B|A）p3（43p），即甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率为 p3（43p）；（2）X 的可能取值为
13、0，1，2，P（X0）（1p）2，P（X1），P（X2）p2+（1p）p2，故 E（X）0+1+2；（3）在五局三胜制中甲获胜的概率为：p1p3+p2（1p）p+p2（1p）2pp3（6p215p+10），在三局两胜制中甲获胜的概率为：p2p2+p2（1p）3p22p3，于是 p1p2p3（6p215p+10）（3p22p3）3p2（2p35p2+4p1）3p2（p1）2（2p1），当 p时，采用 5 局 3 胜制对甲更有利，p时，采用 3 局 2 胜制对甲更有利，当 p时，两种赛制对甲的影响一样21.（1）解：由题意，函数 exf xaxa，可得 exfxa，当0a 时，令 0fx，函数 f
14、 x 在 R 上单调递增，无极小值；当0a 时，令 0fx，即e0 xa，解得lnxa，当(,ln)xa 时，0fx，此时函数 f x 上单调递减；当(ln,)xa 时，0fx，此时函数 f x 上单调递增，所以当lnxa时，函数 f x 取得极小值，极小值ln2lnfaaaa.（2）证明：因为 exfxa，所以3ln23lne3 ln(3ln1)afaaaaa aa，所以1 212212122()ex xxxx xfaxx，因为函数 f x 有两个不同的零点12,x x，且12xx，所以11e0 xaxa，22e0 xaxa，所以1212eexxaxx，所以1 2121221212122ee
15、()ex xxxxxx xfxxxx，因为 23ln(3ln1)faa aa，设 23ln1p aaa，可得 2662()()323222aaap aaaaa，因为0a，所以 p a 在6(0,)2单调递减，在6(,)2 上单调递增，所以 min636()3ln10222p ap，所以 0p a，所以 3ln()0faa p x，再考虑1 2121221212122ee()ex xxxxxx xfxxxx，因为1212121222112x xxxxxxx，所以122112211 21 21 21212121222222221212121212122eeeeee()ee(1)e()xxxxxxx
16、xx xx xx xxxxxxxxxx xxxfxxxxxxxx，设21,02xx，则1221221212ee2ee2xxxxxxTxx，令()2ee(0)，则()2(ee)220，所以()在(0,)上为单调递减函数，所以()(0)0，即0T 恒成立，进而1 2122()0 x xfxx，综上可得，12122(3ln)x xfafxx.22.(1)由参数方程可得222,2xytxyt，两式相乘得普通方程为2244xy故曲线C 的极坐标方程为22224cossin4，即22244cossin(2)因为0OA OBuur uuur，所以可设,AA ，(,)2BB，22222|ABABOAOB2222444cossin4sincos21216sin452234故当且仅当2sin 21 时，|ABuuur的最小值为4 33123.（1）证明：223f xxaxaxaxaa，当且仅当20 xaxa时，取等号，而11122abbbbbb，当且仅当1bb，即1b时，取等号，所以 6f x；（2）解：因为对0,1,Rm nx，使得 41fxmn，所以 minmin41f xmn，因为1mn，,0,1m n，所以4141445529nmn mmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn，即21,33mn时，取等号，由（1）知 min3f xa，所以39a，解得 33a，所以a 的取值范围为3,3.
