1、第三章函数的应用3.1 函数与方程31.1方程的根与函数的零点目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数重点 函数零点的概念以及函数零点的求法难点 对函数零点的判断方法的理解及应用.知识点一函数的零点填一填对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数yf(x)的零点答一答1函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)0得到2当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？
2、提示：不一定如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号知识点二填一填方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点答一答3怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？提示：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标所以，函数yf(x)的图象与x轴有几个交点，函数yf(x)就有几个零点，方程f(x)0就有几个解知识点三函数零点的存在性定理填一填如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c
3、)0，这个c也就是方程f(x)0的根答一答4若函数yf(x)满足在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定如f(x)x3x在区间2,2上有f(2)f(2)0，但f(x)在(2,2)内有三个零点1，0,1；如f(x)x1，在区间2,0上有f(2)f(0)0，是不是说函数yf(x)在(a，b)内没有零点？提示：yf(x)在(a，b)内也可能有零点如f(x)x21，在区间2,2上有f(2)f(2)0，但在(2,2)内有两个零点1,1.类型一求函数的零点例1(1)求函数f(x)x2x2的零点；(2)已知函数f(x)a
4、xb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)因为f(x)x2x2(x1)(x2)令f(x)0，即(x1)(x2)0.解得x1或x2.所以函数f(x)的零点为1和2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)0的解，求解时注意函数的定义域.(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)0. 变式训练1已知函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，求函数ylogn(mx1)的零点解：由题意知f(x)x23(m1
5、)xn的两个零点为1和2，则1和2是方程x23(m1)xn0的两个实根，所以有解得所以函数ylogn(mx1)的解析式为ylog2(2x1)令log2(2x1)0，得x0.所以函数ylog2(2x1)的零点为0.类型二判断函数零点所在区间例2(1)方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2)B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个实根所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345答案(1)C(2)1解析(1)令f(x)log3xx3，则f(1)log311320，f(2)
6、log3223log30，f(4)log3443log3120，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)(2)记f(x)exx2，则该函数的零点就是方程exx20的实根由题表可知f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230，f(3)20.0950.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0，故函数的零点所在的区间为(1,2)所以k1.判断函数零点所在区间的三个步骤：(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且
7、函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点. 变式训练2函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是(B)A(1,2) B(2,3)C(，1)和(3,4)D(e，)解析：f(1)20, f(2)ln210，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)内有一个零点选B.类型三函数零点个数的有关问题命题视角1：判断函数零点的个数例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解方法一：f(0)10210，f(x)在(0,2)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点方法二：如图，在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的图象由图知，g(x)
8、lg(x1)和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点判断函数零点的个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系中作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数.变式训练3函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为(B)A1 B2 C3 D4解析：易知函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|log0.5x|x的根的个数函数y1|log0.5x|与y2x的图象的
9、交点个数两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围例4已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_答案解析画出函数f(x)的图象如图要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图象有两个不同交点，由图易知k.此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.变式训练4若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)解析：令|2x2|b0，得|2x2|b，由题意可知函数y|2x2|与yb的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0b
10、2.1函数f(x)x25x6的零点是(B)A(2,3)B2,3C(2,3)D2，3解析：令x25x60.解得x12，x23，故函数零点为2,3.2设x0是方程lnxx4的解，则x0所在的区间是(C)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：设f(x)lnxx4，则f(1)30，f(2)ln220，f(4)ln40，则x0(2,3)3若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是(1，)解析：函数f(x)x22xa没有零点，就是方程x22xa0没有实数解，所以44a1.4方程2|x|x2的实根的个数为2.解析：由2|x|x2，得2|x|2x.在同一平面直角坐标系内作出函数y2
11、|x|与函数y2x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根5求函数f(x)log2xx2的零点的个数解：令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点本课须掌握的三大问题1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础
