1、2023届高考专题平面向量第一讲平面向量的概念及其线性运算知识点一向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称模)(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的，零向量记作 .(3)单位向量：长度等于 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或 的 向量；平行向量又叫 向量规定：0与任一向量 .(5)相等向量：长度 且方向 的向量(6)相反向量：长度 且方向 的向量知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 法则 法则(1)交换律：ab ；(2)结合律：(ab)c 减法向量a加上向量b的 叫做a与b的差，即a(b)ab 法则
2、aba(b)数乘实数与向量a的积是一个向量记作a(1)模：|a|a| ；(2)方向：当0时，a与a的方向相同；当|b|角度2向量的线性运算例3 (2022长沙模拟)如图，在梯形ABCD中，BC2AD，DEEC，设a，b，则()AabBabCabDab角度3根据向量线性运算求参数例4 (2021济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，2，若xy，则xy()A1B6CD跟踪练习1.(2022青岛质检)在ABC中，若a，b，则( )AabBabCabDab2.(2022长春调研)在ABC中，延长BC至点M使得BC2CM，连接AM，点N为AM上一点且 ，若，则()ABCD3(2022济
3、南期中)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A BC D4如图，在ABC中，P是BN上的一点，3，若m，则实数m的值为()ABCD5.(2022湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab6.(2021西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则()AB22CD227.在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，其中，R，则等于()A1BCD8.故.3已知正六边形ABCDEF中，()A BC D09已知平面内一点P及A
4、BC，若，则点P与ABC的位置关系是( )A点P在线段AB上B点P在线段BC上C点P在线段AC上D点P在ABC外部10(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A BC D11(2022襄阳模拟)若|2，则|_12设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_13一条河的两岸平行，河的宽度d4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|10 km/h，水流速度|v2|2 km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是_h(附： 2449，精确到001)14(2022兰州诊断)在直角梯形ABC
5、D中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_考点三共线向量定理及其应用例5 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线跟踪练习1(2022南昌质检)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R
6、)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是( )A1B1C1D22已知向量a和b不共线，向量amb，5a3b，3a3b，若A，B，C三点共线，则m()A3B2C1D23.(2022济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1BC1或D1或4.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()AaBbCcD05.下列命题正确的是()A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D若向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共
7、线6.下列叙述正确的是()A若非零向量a与b的方向相同或相反，则ab与a，b其中之一的方向相同B|a|b|ab|a与b的方向相同C0D若0，ab，则ab7.(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，ab，2a3b，3a5b，则下列结论正确的是()A2 BC3 DA，B，C三点共线8(2022重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(1cos )sin (是锐角)总成立，则_9(2022潍坊期中)如图，在ABC中，3，D是BE上的点，若x，则实数x的值为_10.设两向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使
8、kab和akb共线第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识点一平面向量的基本定理、，如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a .知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axiyj， 叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显然i ，j ，0 .知识点三平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab ，a ，|a|. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，
9、y1)，B(x2，y2)，则 ，| .知识点四向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab . 考点一平面向量基本定理的应用例1 (1)在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且2，3，若a，b，则等于()AabBabCabDab(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .跟踪练习1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是()Ae1e2，e2e1Be1e2，e1e2C2e23e1，6e14e2D2e1e2，e1e22在ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且2，则()A BC D3.(2022汕头调研)如图，平行四边形ABC
10、D中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，记a，b，则()AabBabCabDab4. (多选)给出以下说法，其中不正确的是()A若ba(R)，则abB若ab，则存在实数，使baC若a，b是非零向量，R，那么ab00D平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底5.(2022长沙模拟)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足2，那么()ABCD6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G若 (，R)，则_7.已知在ABC中，点O满足0，点P是OC上异于端点的任意一点，且mn，则mn的取值范围是 .8.设e1，
11、e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是()Aae1e2，be1Ba2e1e2，be1e2Cae1e2，be1e2Dae12e2，be14e29.已知平面向量a，b，c满足|a|b|ab|abc|1，则|c|的最大值M_，|c|的最小值m_10.如图，已知在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值考点二平面向量坐标的基本运算例2 (1)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.求3ab3c；求满足ambnc的实数m，n；求M，N的坐标及向量的坐标(2
12、)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为 跟踪练习1.(2022天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为_2.(2022安徽调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上，且|3，则向量的坐标为_3.(2022太原联考)已知向量e1(1,1)，e2(0,1)，若ae1e2与b(2e13e2)共线，则实数_4.已知向量a(2,5)，b(，4)，若ab，则_解析因为ab，所以akb，即(2,5)k(，4)，得解得5.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1
13、,1)，C(2,3)，|2|，则向量的坐标是_6.(2021海南省文昌中学模拟)已知a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数k .7. (2021湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a(sin ，1)，b(sin ，0)，c(cos ，1)，且(2ab)c，则sin 2等于 .8.(2022郑州月考)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角 .9.已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k .10(2022本溪模拟)已知p：x1，q：向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也
14、不必要条件11ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角C的大小为()ABCD12(多选)(2022珠海模拟)已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )A2BC1D113(2022菏泽模拟)已知a(2，m)，b(1,2)，a(2ab)，则实数m的值为_14(2022泰安质检)设向量a(3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|10，则向量b的坐标为_15已知向量a(1,3)，b(sin ，cos )，若ab，则tan_16如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DECD，
15、点P在线段CD上运动设xy，则xy的取值范围是()A1,2B1,3C2,3D2,417(2022福州模拟)若，是一个基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_18.(2022辽宁月考)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标第三讲平面向量的数量积知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作a，b，则 叫做向量a与b的夹角；范围是 a与b的夹
16、角为 时，则a与b垂直，记作 知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos 模：|a| 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.夹角：cos .已知两非零向量a与b，abab0 ；abab|a|b|.(或
17、|ab|a|b|)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.(2)平面向量数量积的运算律abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)考点一平面向量数量积的运算例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|1，e2(1，)，e1，e2的夹角为60，则(e1e2)e2()ABC5D(2)已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是 .考点二向量的模、夹角例2 (1)(2021四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60，且a(1，)，|b|3，则|2ab|的值为()A13BCD1(2)(2022黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|，|n
18、|2，在ABC中，2m2n，2m6n，D为BC的中点，则| .角度2向量的夹角例3 (1)(2021新高考八省联考)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sin()ABCD(2)(2020全国理，6)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()ABCD角度3平面向量的垂直例4 (1)(2020全国，5)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2bB2abCa2bD2ab(2)(2022安徽宣城调研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为()ABC6D跟踪练习1.在ABC中，BC5，AC8，C60，则的值为()A
19、20B20C20D202.(多选) (必修第二册21页例11改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()A0a0Babbc，则acCab0abD(ab)(ab)|a|2|b|23在RtABC中，ABC60，BAC90，则向量在向量上的投影向量为()A BC D4(多选)设向量a(2,0)，b(1,1)，则()A|a|b|B(ab)bC(ab)bDa与b的夹角为5.(2020新高考卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则的取值范围是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)6.在边长为1的等边三角形ABC中D为线段BC上的动点，DEAB且交AB
20、与点E，DFAB交AC于点F，则|2|的值为_；()的最小值为_7.已知向量a，b满足a(ba)2，且a(1,2)，则向量b在a方向上的投影为()ABCD8.(2021贵阳市第一学期监测考试)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则()ABCD.9.(多选)(2022常州一模)已知P为ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是()A若320，则点P在ABC的中位线上B若0，则P为ABC的重心C若0，则ABC为锐角三角形D若，则ABC与ABP的面积比为3210.(2020全国，13)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k .11.(2021山西康杰中学五校期中)已知
21、向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|()ABC13D2112.(2021江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为 .13.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BCD114.(2020全国新高考，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)15向量a(1,2)，b(x,1)若(ab)(ab)，则x()A2BC2D216(2022淄博三模)已知向量a，b满足|a|b|ab|1，则|2a
22、b|()A3BC7D17(2022襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()A北偏西30，20 km/hB北偏西60，10 km/hC北偏东30，10 km/hD北偏东60，20 km/h18(2022金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a(1,0)，则满足不等式2a0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为()19(多选)(2022滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)
23、a(ac)b不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|220(多选)(2022青岛质检)已知平面向量a(1,2)，b(2,1)，c(2，t)，下列说法正确的是()A若(ab)c，则t6B若(ab)c，则tC若t1，则cosa，cD|ac|0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同，当|b|解析解法一：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.解法二：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.角度2向量的线性运算例3 (2022长沙模拟)如图，在梯形ABCD中
24、，BC2AD，DEEC，设a，b，则(D)AabBabCabDab解析解法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC2AD，所以ADCF，又ADCF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AFCD，所以.因为DEEC，所以，所以()ab，故选D解法二：如图，连接BD，因为DEEC，所以()()ab，故选D角度3根据向量线性运算求参数例4 (2021济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，2，若xy，则xy(C)A1B6CD解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以，因为2，所以，连接AF，在AEF中，所以，又因为xy，所以x，y，故xy.跟踪练习1.(2022青岛质检)在ABC
25、中，若a，b，则( )AabBabCabDab解析法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以因为，所以，所以ab，故选A法二：()ab，故选A2.(2022长春调研)在ABC中，延长BC至点M使得BC2CM，连接AM，点N为AM上一点且 ，若，则()ABCD解析由题意，知()()，又，所以，则3(2022济南期中)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A BC D解析：A根据向量的运算法则，可得()，所以，故选A4如图，在ABC中，P是BN上的一点，3，若m，则实数m的值为()ABCD解析：B因为3，所以 ()，因为，
26、所以，所以，又m，所以m，故选B5.(2022湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是(D)Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，所以a与b共线同向，故D正确6.(2021西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则(D)AB22CD22连接CD(图略)，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CDAB，且AB2CD，所以22()22，故选D7.在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，其中，R，则等于(D)A1BCD由题意易
27、得，则2，即.所以，8.故.3已知正六边形ABCDEF中，()A BC D0解析：D如图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则，0故选D9已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是( )A点P在线段AB上B点P在线段BC上C点P在线段AC上D点P在ABC外部解析：C由，得，即2，故点P在线段AC上10(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A BC D解析：AC易证DENBAN，又OBOD，N是线段OD的中点，DEAB，D说法错误；，C说法正确；()()，A说法正确，B说法错误故选A、C
28、11(2022襄阳模拟)若|2，则|_解析：因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|212设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_解析：向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得13一条河的两岸平行，河的宽度d4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|10 km/h，水流速度|v2|2 km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是_h(附： 2449，精确到001)解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图所示，|v|(k
29、m/h)，所以t041(h)14(2022兰州诊断)在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由已知得AD1，CD，所以2因为点E在线段CD上，所以 (01)因为，又，所以因为01，所以0考点三共线向量定理及其应用例5 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解析(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即k
30、abakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，解得k1.平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线跟踪练习1(2022南昌质检)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是( )A1B1C1D2解析：AA，B，C三点共线，存在实数t，使t，即abtatb，则消去参数t，得1；反之，当1时
31、，ab(ab)，此时存在实数使，故和共线与有公共点A，A，B，C三点共线，故选A2已知向量a和b不共线，向量amb，5a3b，3a3b，若A，B，C三点共线，则m()A3B2C1D2解析：A因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，因为2a6b，所以2a6bamb，所以解得m3故选A3.(2022济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为(B)A1BC1或D1或解析由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.故选B4
32、.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于(D)AaBbCcD0解法1：ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a.即abccc0.故选D解法2：得ac1c2a11、21，abc0.5.下列命题正确的是(D)A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D若向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线解析易知ABC错误对于D向量a与b不共线，向量a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab共线，则存在实数使ab(ab)，即
33、(1)a(1)b，所以此时无解，故假设不成立，即ab与ab不共线故D正确6.下列叙述正确的是(D)A若非零向量a与b的方向相同或相反，则ab与a，b其中之一的方向相同B|a|b|ab|a与b的方向相同C0D若0，ab，则ab解析对于A，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以0；对于D，(ab)0时，0，此时一定有ab.故选D7.(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，ab，2a3b，3a5b，则下列结论正确的是()A2 BC3 DA，B，C三点共线解析：ABD由题可得a2b，2a4b，a
34、2b，2，故A正确；，故B正确；2，故C错误；由2可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确故选A、B、D8(2022重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(1cos )sin (是锐角)总成立，则_解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数，使得，所以()，即(1)，所以所以sin cos ，因为是锐角，所以459(2022潍坊期中)如图，在ABC中，3，D是BE上的点，若x，则实数x的值为_解析：3，x，xx，B，D，E三点共线，x1，x10.设两向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，
35、使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)ba，b是不共线的两个向量，kk10，k210，k1第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识点一平面向量的基本定理、，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a1e12e2.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y
36、，使得：axiyj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).知识点三平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.知识点四向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. 考点一平面向量基本定理的应用例1 (1)在ABC中，点D，E分别在边
37、BC，AC上，且2，3，若a，b，则等于(C)AabBabCabDab(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则3.解析(1)()ab.(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即解得所以3.故填3.跟踪练习1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是()Ae1e2，e2e1Be1e2，e1e2C2e23e1，6e14e2D2e1e2，e1e2解析：B由e1，e2是平面内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1e2(e2e1)，故e1e2，e2e1共线，不符题意；对
38、B，e1e2，e1e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e23e1(6e14e2)，故2e23e1，6e14e2共线，不满足题意；对D，2e1e22，故2e1e2，e1e2共线，不满足题意故选B2在ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且2，则()A BC D解析：B如图，可知故选B3.(2022汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，记a，b，则()AabBabCabDab解析：D取a，b作为基底，则ab因为BF3FE，所以ab，所以abbab，故选D4. (多选)给出以下说法，其中不正确的是()A若ba(R)，则abB若ab，则
39、存在实数，使baC若a，b是非零向量，R，那么ab00D平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底解析：BCDA项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；B项，若a0，b0，有ab，但不存在实数，使ba，错误；C项，若a，b为相反向量，则ab0，此时1，错误；D项，由平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误故选B、C、D5.(2022长沙模拟)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足2，那么(C)ABCD解析(1)因为E为DC的中点，所以.因为2，所以.所以，故选C6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，
40、交于点G若 (，R)，则_解析由题图可设x (0x1)，则x()xx因为，与不共线，所以，x，所以7.已知在ABC中，点O满足0，点P是OC上异于端点的任意一点，且mn，则mn的取值范围是(2,0).依题意，设(01)，由0，知()，所以，由平面向量基本定理可知，mn2，所以mn(2,0)8.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是()Aae1e2，be1Ba2e1e2，be1e2Cae1e2，be1e2Dae12e2，be14e2解析：ACD对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对B，ba，所以a，b共线，所以不符合；对C，a不能用b表示，故a，
41、b不共线，所以符合；对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合，故选A、C、D9.已知平面向量a，b，c满足|a|b|ab|abc|1，则|c|的最大值M_，|c|的最小值m_解析：因为|a|b|ab|1，所以a，b，ab可构成等边三角形，且|ab| ，因为|abc|1，所以如图所示，c的终点在以ab的终点为圆心，半径为1的圆上，故M1，m110.如图，已知在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解：(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，得2，所以22ab，(2ab)b2ab(2)由题
42、意知，故设x因为(2ab)a(2)ab，2ab所以(2)abx因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，得解得故考点二平面向量坐标的基本运算例2 (1)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.求3ab3c；求满足ambnc的实数m，n；求M，N的坐标及向量的坐标(2)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为(4，2).解析(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得.设O为坐标原点，因为3c，所以3c
43、(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)所以N(9,2)所以(9，18)(2)设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)跟踪练习1.(2022天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为_解析由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)2.(2022安徽调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(
44、3,4)，若点C在AOB的平分线上，且|3，则向量的坐标为_解析：因为点C在AOB的平分线上，所以存在(0，)，使得(0,1)，又|3，所以22(3)2，解得5故向量(3,9)3.(2022太原联考)已知向量e1(1,1)，e2(0,1)，若ae1e2与b(2e13e2)共线，则实数_解析：由题意知ae1e2(1,1)，b(2e13e2)(2,1)由于ab，所以112(1)0，解得4.已知向量a(2,5)，b(，4)，若ab，则_解析因为ab，所以akb，即(2,5)k(，4)，得解得5.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|2|，则向量的坐标是_解析：由点C
45、是线段AB上一点，|2|，得2设点B(x，y)，则(2x,3y)2(1,2)，即解得所以向量的坐标是(4,7)6.(2021海南省文昌中学模拟)已知a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数k6.解析由题意得a2b(3,32k)，3ab(5，9k)，由(a2b)(3ab)，得3(9k)5(32k)，解得k6.7. (2021湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a(sin ，1)，b(sin ，0)，c(cos ，1)，且(2ab)c，则sin 2等于.解析由题意知2ab(3sin ，2)，又(2ab)c，3sin 2cos ，即tan ，sin 2.8.(2022郑州月考)已知向
46、量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角45.解析(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或cos ，又为锐角，所以45.故填45.9.已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k.(2)(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以210(2022本溪模拟)已知p：x1，q：向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A若向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则xx(x2)，解得x0或x1，所以p：x1是q的充分不必要条件故选A11
47、ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角C的大小为()ABCD解析：B因为向量p(ac，b)，q(ba，ca)且pq，所以(ac)(ca)b(ba)0，即c2a2b2ab0，所以cos C，因为0C，所以C故选B12(多选)(2022珠海模拟)已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )A2BC1D1解析：ABD各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形因为(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即
48、m1所以只要m1，A，B，C三点就可构成三角形，故选A、B、D13(2022菏泽模拟)已知a(2，m)，b(1,2)，a(2ab)，则实数m的值为_解析：向量a(2，m)，b(1,2)，2ab(3，22m)a(2ab)，2(22m)3m，解得m414(2022泰安质检)设向量a(3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|10，则向量b的坐标为_解析：不妨设向量b的坐标为b(3m,4m)(m0)，则|b|10，解得m2(m2舍去)，故b(6，8)15已知向量a(1,3)，b(sin ，cos )，若ab，则tan_解析：由ab可得，3sin cos ，得tan ，所以tan216如图，四边形AB
49、CD为正方形，延长CD至E，使得DECD，点P在线段CD上运动设xy，则xy的取值范围是()A1,2B1,3C2,3D2,4解析：C以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，E(1,1)，设P(t,1)(0t1)，则(t,1)x(1,0)y(1,1)，所以txy，且y1，故xyt22,3故选C17(2022福州模拟)若，是一个基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_解析：因为a在基底p，q下的坐标为(2,2
50、)，所以a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，所以解得所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)18.(2022辽宁月考)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)法一：mbnc(6mn，3m8n)，解得法二：abc0，abc，又ambnc，mbncbc，(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,2
51、0)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)(4k)7(2k)，解得k. 第三讲平面向量的数量积知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角；范围是0，.a与b的夹角为时，则a与b垂直，记作ab.知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示
52、(1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.夹角：cos .已知两非零向量a与b，abab0x1x2y1y20；abab|a|b|.(或|ab|a|b|)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.(2)平面向量数量积的运算律abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)考点一平面向量数量积的运算例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|1，e2(1，)，e1，e2的夹角为60，则(e1e2)e2(
53、C)ABC5D(2)已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是25.解析(1)e2(1，)|e2|2，所以(e1e2)e2e1e2e12cos 6045.故选C(2)如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且B，cos A，cos C，45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.考点二向量的模、夹角例2 (1)(2021四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60，且a(1，)，|b|3，则|2ab|的值为(C)A13BCD1(2)(2022黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中，2m2n，2m6n，D为BC的中点，则|2.解析(
54、1)a(1，)，|a|2.ab|a|b|cos 603，|2ab|.故选C(2)由题意知mn2cos 3.ABC中，D为BC的中点，()(2m2n2m6n)2m2n.|2m2n|2222.角度2向量的夹角例3 (1)(2021新高考八省联考)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sin(B)ABCD(2)(2020全国理，6)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab(D)ABCD解析(1)解法1：设a(1,0)，b(0,1)，则c(，)，cos，sin，故选B解法2：如图，sina，c.(2)|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2ab19.又|ab|7，c
55、osa，ab.故选D角度3平面向量的垂直例4 (1)(2020全国，5)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是(D)Aa2bB2abCa2bD2ab(2)(2022安徽宣城调研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为(A)ABC6D解析(1)解法1：本题考查向量的数量积由题意得ab|a|b|cos 60，b2|b|21.对于A，(a2b)bab2b220，故A错；对于B，(2ab)b2abb21120，故B错；对于C，(a2b)bab2b220，故C错；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b，故选D解法2：可以考虑几何意义(2)因
56、为，所以()()22(1)0，因此3242(1)34cos 1200，所以.故选A跟踪练习1.在ABC中，BC5，AC8，C60，则的值为()A20B20C20D20解析：B由题意知，120，故|cos，5820，故选B2.(多选) (必修第二册21页例11改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()A0a0Babbc，则acCab0abD(ab)(ab)|a|2|b|2解析：CD对于A选项，0a0，错误；对于B选项，因为abbc，如图，由数量积的几何意义可知|a|cos 1|c|cos 2，但ac，错误；对于C选项，ab0ab，正确；对于D选项，(ab)(ab)a2b2|a|2
57、|b|2，正确3在RtABC中，ABC60，BAC90，则向量在向量上的投影向量为()A BC D解析：A取点O为BC的中点，根据题意作图，BAC90，ABC60，在上的投影向量为，故选A4(多选)设向量a(2,0)，b(1,1)，则()A|a|b|B(ab)bC(ab)bDa与b的夹角为解析：CD因为a(2,0)，b(1,1)，所以|a|2，|b|，所以|a|b|，故A错误；因为a(2,0)，b(1,1)，所以ab(1，1)，所以(ab)与b不平行，故B错误；又(ab)b110，所以(ab)b故C正确；又cosa，b，且a，b0，所以a与b的夹角为，故D正确故选C、D5.(2020新高考卷)
58、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则的取值范围是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)|cos PAB2|cos PAB，又|cos PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小又22cos 306，22cos 1202，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，(2,6)，故选A6.在边长为1的等边三角形ABC中D为线段BC上的动点，DEAB且交AB与点E，DFAB交AC于点F，则|2|的值为_；()的最小值为_解析：设BEx，x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，BDE30，BD2x，DEx，DC
59、12x，DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，(2)2444x24x(12x)cos 0(12x)21，|2|1，()()()(x)2(12x)(1x)5x23x152，当x时，()的最小值为7.已知向量a，b满足a(ba)2，且a(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(D)ABCD解析(1)由a(1,2)，可得|a|，由a(ba)2，可得aba22，ab3，向量b在a方向上的投影为.8.(2021贵阳市第一学期监测考试)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则(A)ABCD因为|，所以|2|2，所以0，即BAC90.所以22，故选A.9.(多选)(2022常
60、州一模)已知P为ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是()A若320，则点P在ABC的中位线上B若0，则P为ABC的重心C若0，则ABC为锐角三角形D若，则ABC与ABP的面积比为32解析对于A，设AB中点为D，BC中点为E，320，2()，24，即2，P，D，E三点共线，又DE为ABC的中位线，点P在ABC的中位线上，A正确；对于B，设AB中点为D，由0得：，又2，2，P在中线CD上，且2，P为ABC的重心，B正确；对于C，0，与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明ABC为锐角三角形，C错误；对于D，P为线段BC上靠近C的三等分点，即，SABCSABPBCBP
61、32，D正确10.(2020全国，13)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k.本题考查平面向量的数量积运算由题意知|a|b|1，所以ab|a|b|cos 45.因为kab与a垂直，所以(kab)a0，即ka2ab0，即k0，得k.11.(2021山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|(B)ABC13D21|a|1，|b|2，ab1，|a2b|.故选B12.(2021江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为.由题意可知3，3.m3，|b|6，记a与b的夹角为，则cos ，又0，
62、.13.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2BCD1解析解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有2，则()22()()2(22)而22，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时()取得最小值，最小值为222.14.(2020全国新高考，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(A)A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)解析本题考查平面向量数量积的取值范围如图，以正六边形的中心为坐标原点O，线段FC所在直线为x轴，线段FC的垂直平分线为y轴，
63、建立平面直角坐标系，则F(2，0)，C(2,0)，A(1，)，B(1，)设P(x，y)，x(2,2)，则(x1，y)(2,0)2x2(2,6)故选A15向量a(1,2)，b(x,1)若(ab)(ab)，则x()A2BC2D2解析：C法一：ab(1x,3)，ab(1x,1)，因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，即(1x)(1x)30，解得x2法二：因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|a|b|，所以x2故选C16(2022淄博三模)已知向量a，b满足|a|b|ab|1，则|2ab|()A3BC7D解析：D由已知可得|ab|2a22abb222ab1，则ab
64、，因此，|2ab|故选D17(2022襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()A北偏西30，20 km/hB北偏西60，10 km/hC北偏东30，10 km/hD北偏东60，20 km/h解析：A如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，|10，|10，则|20，则cosBOC，因为BOC为锐角，故BOC30，故船以20 km/h的速度，以北偏西30的方向行驶，才能垂直到达对岸故选A18(2022金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a(1,0)，则满足不等
65、式2a0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为()解析：BA(x，y)，向量与关于y轴对称，B(x，y)，(2x,0)2a0，x2y22x(x1)2y210，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部故选B19(多选)(2022滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ac)b不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析：BD由于b，c是不共线的向量，因此(ab)c与(ca)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，ab构成三角形，
66、因此B正确；由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的故选B、D20(多选)(2022青岛质检)已知平面向量a(1,2)，b(2,1)，c(2，t)，下列说法正确的是()A若(ab)c，则t6B若(ab)c，则tC若t1，则cosa，cD|ac|3解析：BCab(1,3)，若(ab)c，则t60，所以t6，故A错误；若(ab)c，则23t0，所以t，故B正确；若t1，则cosa，c，故C正确；ac(3，t2)，则|ac|3，故D错误故选B、C21在四边形ABCD中，(3，1)，(2，m)，则该四边形的面积是_
67、解析：由题意，向量(3，1)，(2，m)，由，可得32(1)m0，解得m6，所以四边形的面积为| 1022已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_，a(ab)_解析：由题意，设向量a，b的夹角为，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32cos 0，解得cos 又因为0，所以，则a(ab)|a|2|a|b|cos 32623(2022淮安模拟)已知平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BAD，平面内动点E，满足|ED|2|EC|，则()的取值范围为_解析：平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BAD，建立如图所
68、示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2)，D(2,2)，设E(x，y)，平面内动点E满足|ED|2|EC|，(x2)2(y2)24(x5)2(y2)2，即(x6)2(y2)24，(x6)244x8，()(3,0)(x，y)3x12,2424(2022天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若，向量m，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的值解：(1)设D(t,0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|22(0t1)，所以当t时，|最小，最
69、小值为(2)由题意得C(cos ，sin )，m(cos 1，sin )，则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21sin，因为，所以2，所以当2，即时，sin取得最大值1，即mn取得最小值1所以mn的最小值为1，此时25(多选)引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量m(x1，y1)，n(x2，y2)，规定mnx1x2y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有()AabbaB(a)b(ab)Ca(bc)(ab)cD|a|b|ab|解析：ABD设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)A项，因为abx1x2y1y2，bax2x1y2y1
70、，所以abba，故正确；B项，因为(a)b(x1)x2(y1)y2(x1x2y1y2)(ab)，故正确；C项，a(bc)(x2x3y2y3)a，(ab)c(x1x2y1y2)c，此时a(bc)(ab)c不恒成立，故错误；D项，因为(|a|b|)2( )2xxyyxyxy，|ab|2xxyy2x1x2y1y2，所以(|a|b|)2|ab|2xyxy2x1x2y1y2(x1y2x2y1)20，所以(|a|b|)2|ab|20，且|a|b|0，|ab|0，所以|a|b|ab|，故正确，故选A、B、D26(2022本溪模拟)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行
71、车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为()A8B2C4D4解析：C以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(8,0)，B(6,2)，C(2,2)圆D的方程为x2y23，可设P(cos ，sin )，所以(2,2)，(cos 6，sin 2)故2cos 126sin 124sin4故选C27(2022珠海模拟)已知平面向量a(，)，则与a夹角为45的一个非零向量b的坐标可以为_(写出满足条件的一个向量即可)解析：设b(
72、x，y)，abxy，xy，xy0，且b为非零向量，x1，y0满足题意，b(1,0)答案：(1,0)(答案不唯一，满足b(x，y)，xy0且x2y20的任意一个均可)28在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB2CD3，AD2，若EF在线段AB上运动，且EF1，则的最小值为_解析：如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t1,0)(0t2)，则，4(t1)2(t0,2)，的最小值为，当且仅当t1时取得29如图所示，在矩形ABCD中，AB2，AD1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依
73、次记作E1，E2，E7，自左到右依次记作F1，F2，F7，满足2(其中i，jN*,1i，j7)的有序数对(i，j)共有_对解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Ei，Fj(其中i，jN*,1i，j7)，由2得2，即i4j16当j1,2时，i1,2，7，共2714对；当j3时，i1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对答案：1830已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简，得1所以点P的运动轨迹为椭圆，其方程为1(2)因为()()()()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220因为y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值134(此时x00)，故的最小值为124
