1、解析 方法一 设 BDa，则 BC 3a，作 CEBA 交 BA 的延长线于 E，可知DACACE，在 RtABD 中，sin B 1BD1a.在 RtBEC 中，CEBCsin B 3a1a 3，第 3 讲 平面向量【高考真题感悟】(2010天津)如图，在ABC 中，ADAB，BC 3 BD，|AD|1，则AC AD _.cos DACcos ACE 3AC.AD AC|AD|AC|cos DACADAC 3AC 3.方法二 AC AB BC AB 3BDAB 3(BA AD)(1 3)AB 3ADAC AD(1 3)AB 3AD AD(1 3)AB AD 3AD 2 3.答案 3考题分析
2、本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积若从深层考虑，又考查了平面几何的基本方法，体现了知识与能力的考查是平面向量考查的一个重要方向易错提醒(1)从方法一的角度看，易忽视作辅助线，将问题分解(2)从方法二的角度看，不能把AC 用AB、AD 线性表示(3)忽视ABAD 0，AD 21 这些隐含条件的应用主干知识梳理 1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为 a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的
3、投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即ab|a|b|cosa，b.3两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ababx1y2x2y10；abab0 x1x2y1y20.热点分类突破 题型一 向量的有关运算问题例 1 已知|OA|1，|OB|3，OA OB 0，点 C 在AOB内
4、，且AOC30，设OC mOA nOB (m，nR)，则mn_.解析 方法一|OA|1，|OB|3，OA OB 0，不妨假设点 C 在 AB 上，且AOC30.以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0，3)，C 点坐标为34，34，OC mOA nOB (m，nR)，所以存在 m34，n14使假设成立，此时mn3.方法二 由条件|OA|1，|OB|3，OA OB 0，可建立以 O为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴的直角坐标系，则OA(1,0)，OB(0，3)由OC mOA nOB，得
5、OC(m，3n)又因为AOC30，点 C 在AOB 内，可得 3nm tan 30 13，nm13，即mn3.答案 3 探究提高(1)由OA OB 0 知 OAOB，所以建立坐标系是解决此类题目的关键(2)熟练掌握向量的线性运算等(3)向量坐标化，使实数运算得以体现变式训练 1 如图，已知|OA|2，|OB|1，|OC|4，OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30，用OA，OB 表示OC，则OC _.解析 以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么OA(2,0)，OC(2 3，2)，OB 12，32，设OC nOA mOB，即(2 3，2)2n12m，
6、32 m，所以 2 32n12m，2 32 m.将联立解得 mn43 3，所以OC 4 33 OA 4 33 OB.4 33 OA 4 33 OB题型二 有关向量的平行、垂直问题例 2 已知 a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b|；(2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解(1)因为 a(1,0)，b(2,1)，故 a3b(7,3)，所以|a3b|7232 58.(2)据题意，有 kab(k2，1)，a3b(7,3)因为 kab 与 a3b 平行，所以 3(k2)70，解得 k13.此时 kab73，1，a3b(7,3)，则 a3b3(kab)，即此
7、时向量 a3b 与 kab 方向相反探究提高(1)把向量坐标化，利用向量的坐标进行运算，使实数运算得以体现(2)注意区别向量共线与向量垂直的坐标运算的不同，混淆两者的运算是丢分的一个重要因素变式训练 2 已知点 O(0,0)，A(2，1)，B(2,7)，OP OA 12BA，又OQ OP，且|OQ|2，则 Q 点的坐标为_解析 设 Q(x，y)，P(x1，y1)由OP OA 12BA，得(x1，y1)(2,1)12(4，6)(4，2)OQ OP，且|OQ|2，4x2y0，x2y24，解得x2 55，y4 55或x2 55，y4 55.Q 点的坐标为2 55，4 55或2 55，4 55.2 5
8、5，4 55或2 55，4 55题型三 向量与三角函数的综合应用例 3 已知向量 a(sin x，cos x)，b(3cos x，cos x)且 b0，定义函数 f(x)2ab1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若 ab，求 tan x 的值；(3)若 ab，求 x 的最小正值思维启迪(1)根据已知求 f(x)的解析式，再由三角函数的单调性求 f(x)的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值；(3)abab0，得到关于 x 的三角等式，进而求出 x的最小值解(1)f(x)2ab12(3sin xcos xcos2x)1 3sin 2xcos 2x2sin(2x
9、6)由 2k22x62k2，kZ，得 k3xk6，kZ.f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2)由 ab，得 sin xcos x 3cos2x0，b0，cos x0.tan x 30，tan x 3.(3)若 ab，则 ab0.3sin xcos xcos2x0.b0，cos x0.3tan x10，即 tan x 33.xk56，kZ.当 k0 时，x 有最小正值56.探究提高 向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程变式训练 3 已知 为向量 a 与 b 的夹角，|a|2，|b|1，
10、关于 x 的一元二次方程 x2|a|xab0 有实根(1)求 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数 f()2sin cos 2 3cos23的最值解(1)由已知条件，可得|a|24，ab|a|b|cos 2cos，0，关于 x 的一元二次方程 x2|a|xab0 有实根，|a|24ab4(12cos)0，得 cos 12，解得 3，.(2)f()2sin cos 2 3cos2 3sin 2 3(2cos21)sin 2 3cos 22sin23，3，233，53，得 sin23 1,1，当 512时，f(x)max2；当 1112 时，f(x)min2.规律方法总结 1利用数量积研究向
11、量的平行和垂直设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则位置关系向量式坐标式ab|ab|a|b|x1y2x2y10abab0 x1x2y1y202.利用数量积研究夹角问题设a，b，则cos ab|a|b|，数量积的符号夹角的大小或范围ab0为锐角或零角ab090ab0为钝角或平角3.利用数量积求向量的长度(或模)条件计算公式a(x，y)|a|a2 x2y2A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|(x1x2)2(y1y2)2名师押题我来做 1已知平面向量|a|2，|b|1，且(ab)a52b，则 a 与 b的夹角为_押题依据 本题主要考查向量的数量积、向量垂直的充要条件等基础知识及运算能力，属于
12、中等偏易题高考基本上每年都会涉及此类试题，且题型变化不大，大多以基本概念的考查形式命制，所以在备考中掌握基础知识，能熟练运算即可押题级别 解析 因为(ab)a52b，所以 a252b232ab0.又因为|a|2，|b|1，所以 a24，b21，所以 45232ab0，所以 ab1.又 ab|a|b|cosa，b1，所以 cosa，b12.又 a 与 b 的夹角范围为0，所以 a 与 b 的夹角为3.答案 32已知向量 a(2cos，2)，b(2,2sin)(1)若 ab，求 的取值集合；(2)求|ab|的最大值及相应的 的取值集合押题依据 向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角函数综合的题目是高考的一类热点题型本题主要考查了向量垂直的充要条件，向量模的最值及灵活应用三角公式解决问题的能力，故押此题押题级别 解(1)由 ab，得 ab(2cos，2)(2,2sin)4cos 4sin 0，tan 1.4k，kZ.故 的取值集合为|4k，kZ(2)由 a(2cos，2)，b(2,2sin)，得 ab(2cos 2,2sin 2)，|ab|(2cos 2)2(2sin 2)2128 2sin(4).当 sin(4)1，即 42k(kZ)时，|ab|取得最大值为 2 22.故|ab|的最大值为 2 22，相应的 的取值集合为|42k，kZ返回
