1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-1 第三章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第三章 第三章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 3.4 曲线与方程第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征第三章 第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课 时 作 业6易混易错辨析5课前自主预习1第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课前自主预习第三章 3
2、.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)_；(2)_那么，这条曲线叫作_，这个方程叫作_曲线上点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都在曲线上方程的曲线曲线的方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当_时，圆锥曲线是椭圆；当_时，圆锥曲线是双曲线；当_时，圆锥曲线是抛物线2圆锥曲线的统一定
3、义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的比等于常数e的点的集合叫作圆锥曲线这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率0e1e1e1第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 知识要点解读第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1平面直角坐标系的选取原则(1)以已知定点为原点(2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)(3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点(4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴(5)如果曲线(或轨迹)有对称
4、中心，通常以对称中心为原点第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 (6)如果曲线(或轨迹)有对称轴，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴)(7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上，或者让尽量多的点在坐标轴上第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 2对求曲线方程的五个步骤的四点说明(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单(2)第二步是求方程的重要一环要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几
5、何等式此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 (3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值范围予以剔除第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 3对求曲线方程的三点说明(1)求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同(2)一般地，求哪个点的运动轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不
6、设成(x0，y0)或(x1，y1)(3)化简方程时，一般将方程f(x，y)0化成关于x、y的整式形式，并且要保证化简过程的恒等性4通过方程研究曲线性质的方法借助于曲线方程研究曲线的性质时，首先应把方程通过配方、因式分解、分离变量等方法化为我们熟悉的形式，然后结合图形，研究其性质第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 5过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数，当椭圆的焦点落在y轴上时，焦半径公式为：|PF1|aey1，|PF2|aey1.6如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的定义第三章 3.4 第1课时 成才之路
7、高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 预习效果检测第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1曲线 C 的方程为 yx(1x5)，则下列四点中在曲线 C上的是()A(0,0)B15，15C(1,5)D(4,4)答案 D第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 2方程(xy1)xy30 表示的曲线是()A两条互相垂直的直线B两条射线C一条直线和一条射线D一个点(2，1)答案 C第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 3下列四个图形中，图形下面的方程是图
8、形中曲线的方程的是()答案 D第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 4已知方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()Aa1B0a1C0a1或a1Da答案 A5动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_答案 y28x解析 本题考查了抛物线的定义及p的几何意义由抛物线的定义知p4，方程为：y28x.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课堂典例讲练第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如
9、果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则以下说法正确的是()A曲线l的方程是F(x，y)0B方程F(x，y)0的曲线是lC坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线l上D坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线l上答案C分析 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断曲线与方程的概念第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)0，则M点不在曲线l上”，此即说法C特值方法：作如图所示的曲线l，考查l与方
10、程F(x，y)x210的关系，显然A、B、D中的说法全不正确 选C第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法等价转换和特值方法其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”，简言之，即“多一点不行，少一点不可”第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 判断下列结论的正误，并说明理由(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x0；(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy
11、1；(4)ABC的顶点A(0，3)、B(1,0)、C(1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x0.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x3.结论错误(2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y2，即不具备完备性 结论错误(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|y|1，即xy1.所给问题不具备完备性结论错误(4)中 线 AD 是 一 条 线 段，而 不 是 直 线，应 为 x 0(3y0)，所给问题不具备纯粹性结论错误第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导
12、 北师大版 数学 选修2-1 已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C满足的方程解析 以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)求曲线的方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 方法一 由ABC 是直角三角形可知|AB|2|AC|2|BC|2，即(2a)2(xa)2y2(xa)2y2，化简得 x2y2a2.依题意可知xA故所求直角顶点 C 满足的方程为 x2y2a2(xa)方法二 由ABC 是直角三角形可知 ACBC，所以 kACkBC1，则 yxa yxa1(
13、xa)，化简得直角顶点 C 满足的方程为 x2y2a2(xa)方法三 由ABC 是直角三角形可知|OC|OB|，所以x2y2a(xa)，化简得直角顶点 C 满足的方程为 x2y2a2(xa)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思 坐标系的选取，一般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性(如此例)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解析 解
14、法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a2x，b2y，即 A(2x,0)，B(0,2y)因为 l1l2，所以 kAPkPB1.而 kAP 4022x(x1)，kPB42y20，第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 所以 21x2y1 1(x1)整理得，x2y50(x1)因为当 x1 时，A、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2y50.综上所述，点 M 的轨迹方程是 x2y50.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学
15、习指导 北师大版 数学 选修2-1 解法二：设 M(x，y)，则易知 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连 结 PM.因 为 l1 l2，所 以|PM|12|AB|.而|PM|x22y42，|AB|2x22y2，所以 2 x22y42 4x24y2，化简，得 x2y50 为所求轨迹方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 直译法求曲线的方程如图已知 F(1,0)，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FPFQ，求动点 P的轨迹方程分析 设动点坐标寻求几何条件将几何条件坐标化(解析
16、法)求轨迹方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 设点 P(x，y)，则 Q(1，y)，由QP(x1,0)，QF(2，y)，FP(x1，y)，FQ(2，y)，由QP QF FPFQ，(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，2x22x2y2，即 y24x 为动点 P 的轨迹方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思 求曲线方程的基本方法是：建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明一般情
17、况下，求出曲线方程后的证明可以省去第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如图，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，O1O24.过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 为切点)，使得 PM 2PN.试建立平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 O1(2,0)，O2(2,0)由已知 PM 2PN，PM22PN2.又两圆的半径均为 1，所以 PO
18、2112(PO221)设 P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233.所求动点 P 的轨迹方程为(x6)2y233.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程定义法求曲线方程解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A和 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.|MA|MB|，|MC1|AC1|MC2|BC2|，|MC2|MC1|BC2|AC1|
19、312.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)这里 a1，c3，则 b28，设点 M 的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为 x2y281(x0)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思(1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运
20、算进行化简(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支这一点要特别注意！第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程解析 设动圆圆心为(x，y)，动圆半径为 r，则|MC1|r 2|MC2|r 2，|MC1|MC2|2 20)，知 a 2，c4，b214，动圆圆心 M 的轨迹方程为x22y2141(x0)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 设圆C：
21、(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程参数法求曲线方程解析 方法一：直接法设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CPOQ，设 OC 中点为 M(12，0)，则|MP|12|OC|12，得方程(x12)2y214，考虑轨迹的范围知 0 x1.第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 方法二：定义法OPC90.动点 P 在以 M(12，0)为圆心 OC 为直径的圆上|OC|1，再利用圆的方程得解方法三：代入法设 Q(x1，y1)，则xx12yy12x12xy22y，又(x11)2y211，(2x1)2(2y)2
22、1(00)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，再以OA、OB为邻边作矩形AOBM，求点M的轨迹方程分析 由 OAOB，可设 OA 方程为 ykx，则 OB 的方程为 y1kx，由此可得 A、B 两点关于 k 的坐标，再由OM OA OB，得动点 M 的参数轨迹方程，消去参数 k 即可得 M 的轨迹方程第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA 斜率为 k(k0)，则 OB 斜率为1k，OA 所在直线为 ykx.代入 y22px(p0)得：x12pk2，y12pk，即 A(2pk2，2p
23、k)，OA(2pk2，2pk)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 OB 所在直线方程为 y1kx，代入 y22px(p0)可得：OB(2pk2，2pk)又OM OA OB，x2p1kk24p，y2p1kk，整理得：y22p(x4p)(p0)即点 M 的轨迹方程为 y22p(x4p)(p0)总结反思 用参数法求轨迹方程时，一要选好参数，将动点的横、纵坐标表示成参数的形式；二要掌握消参的技巧第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 易混易错辨析第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师
24、大版 数学 选修2-1 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么误解 设另一端点 C 的坐标为(x，y)，依题意得|AC|AB|，即 x42y22 432252，两边平方，得(x4)2(y2)210，即另一端点 C 的轨迹是以 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 正解 设另一个端点 C 的坐标为(x，y)，依题意得|AC|AB|，即 x42y22 432252，两边平方，得(x4)2(y2)210.令x32 4，y52 2，得 x5，y1.因
25、为 A，B，C三点不共线，所以轨迹不包括点(3,5)，(5，1)故另一个端点 C的轨迹方程是(x4)2(y2)210，且其轨迹不包括点(3,5)，(5，1)，这是以 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，且除去点(3,5)，(5，1)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 迷津点拨 上述求得的轨迹方程忽视了A，B，C不共线这个隐含条件，因为A，B，C为三角形的顶点，所以A，B，C三点不共线，即B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一直径的两个端点第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 点M与已知点P(2
26、,2)连线的斜率是它与点Q(2,0)连线的斜率的2倍，求点M的轨迹方程误解 设点 M 的坐标为(x，y)，由已知可得y2x22 yx2，化简整理得，点 M 的轨迹方程为 xy2x6y40.正解 设点 M 的坐标为(x，y)，当 x2 时，直线 PM 的斜率不存在；当 x2 时，直线 MQ 的斜率不存在，均不合题意；当 x2 时，由已知得y2x22 yx2，化简整理得，点 M 的轨迹方程为 xy2x6y40(x2)第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 迷津点拨 因为直线PM和直线MQ的斜率都存在，所以在中，x2，但在中却有x2，此时点P(2,2)和Q(2,0)在方程的曲线上，其原因是从到是非等价变形，使x的范围扩大了第三章 3.4 第1课时 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
