1、专题三 数列、推理与证明 第 1 讲 等差数列、等比数列【高考真题感悟】(2011北京)在等比数列an中，若 a112，a44，则公比 q_；|a1|a2|an|_.解析 an为等比数列，且 a112，a44，q3a4a18，q2，an12(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|12(12n)12 12(2n1)2n112.2 2n112考题分析 本题考查了等比数列的性质和数列求和，考查考生分析问题、解决问题的能力易错提醒(1)易忽略等比数列的性质，也可用基本量法求公比(2)易忽视数列an与数列|an|的区别主干知识梳理 1an与 Sn的关系Sna1a2an，anS1，n1，Sn
2、Sn1，n2.2等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n2)anan1常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1anan2(n1)an为等差数列(3)通项公式法：anpnq(p、q 为常数)an为等差数列(4)前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A、B 为常数)an为等差数列(5)an为等比数列，an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n1anan2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式法：ancqn(c、q 均是不为 0常数，nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列
3、(00，递增；d0，递减)；(3)等差数列的性质：设 m、n、p、q 为自然数，若 mnpq，则 amanapaq.变式训练 1 已知an是一个等差数列，且 a21，a55.(1)求an的通项 an；(2)求an的前 n 项和 Sn的最大值解(1)设an的公差为 d，由已知条件，a1d1，a14d5，解得 a13，d2.所以 ana1(n1)d2n5(nN*)(2)Snna1n(n1)2dn24n4(n2)2.所以当 n2 时，Sn 取得最大值 4.题型二 与等比数列有关的问题例 2 等比数列an的公比 q0，已知 a21，an2an12an，则an的前 2 010 项的和为_解析 由 an2
4、an12an，得 qn1qn2qn1，即 q2q20，又 q0 时，Tn1a1；当 a1a1.探究提高(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用，往往是破题的关键2n2n变式训练 3(2011辽宁)已知等差数列an满足 a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an2n1 的前 n 项和解(1)设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得a1d0，2a112d10，解得a11，d1.故数列an的通项公式为 an2n.(2)设数列an2n1 的前 n 项和为 Sn，即 Sna1a22 an2n1，故 S11，Sn2 a12 a
5、24 an2n.所以，当 n1 时，得，Sn2 a1a2a12anan12n1an2n11214 12n1 2n2n11 12n1 2n2n n2n.所以 Sn n2n1.当 n1 时也满足此式综上，数列an2n1 的前 n 项和 Sn n2n1.规律方法总结 1在等差或等比数列中，已知五个元素 a1，an，n，d(或 q)，Sn 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 a1和公差 d(或公比 q)2数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明 an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即
6、证明 2anan1an1(n2)(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为常数；利用等比中项，即证明 a2nan1an1(n2)3常用性质(1)等差数列an中，若 mnpq，则 amanapaq；等比数列an中，若 mnpq，则 amanapaq；(2)在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k 1)n，成等 差数列，其中 Sn 为前 n 项 的 和，且Sn0(nN*)；在等比数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，成等比数列，其中 Sn为前 n 项的和，且 Sn0(nN*)名师押题我来做 1设等差数列an的前 n
7、 项和为 Sn，若 S312，S642，则 a10a11a12_.押题依据 本题可以根据给出的已知条件求出等差数列的首项和公差，然后再具体计算但如果从整体上考虑，可以发现 S3，S6S3，S9S6 也是一个等差数列，所以从整体上考虑计算较简单所以说本题不仅考查了通性通法，同时也突出了对能力的考查押题级别 解析 根据等差数列的特点，等差数列中 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12 也成等差数列，记这个数列为bn，根据已知得 b112，b2421230，故这个数列的首项是 12，公差是 18，b41231866.662数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n
8、2n Sn(n1,2,3，)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.押题依据 等比数列的判断、an 与 Sn 的关系是高考的热点，各省都很重视对这部分内容的考查押题级别 证明(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，Sn1Snn2n Sn，n(Sn1Sn)(n2)Sn，nSn12(n1)Sn，Sn1n12Snn，故Snn 是以 2 为公比的等比数列(2)Sn1n12Snn.当 n2 时，Sn1n14Sn1n1，Sn14n1n1Sn1.又 an1n2n Sn，ann1n1Sn1(n2)，Sn14an.当 n1 时，a23S13，S24，即 S24a1.综上所述：Sn14an.返回
