1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解双曲线标准方程的推导过程(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题(难点)1.通过双曲线标准方程的推导、培养数学运算素养2.借助双曲线标准方程的求法，提升逻辑推理素养.双曲线的标准方程标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2a2b2思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？提示“焦点跟着正项走”，若x2的系数为正，则焦点在x轴
2、上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上1双曲线1的焦距为()A3B4C3D4Dc210212，所以c2，从而焦距为4.2已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或1D.0或0Cb2c2a2725224，故选C.3若kR，方程1表示双曲线，则k的取值范围是_(3，2)据题意知(k3)(k2)0，解得3k2.4已知椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则实数a_.1由条件可得4a2a2，解得a1.求双曲线标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上思路探究解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的
3、方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，点P和Q在双曲线上，解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标
4、轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解1已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程解椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.双曲线标准方程的讨论【例2】(1)如果方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是_(2) “ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的_条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)(3)若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围思路探究根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解(1)(2，1)(2)
5、必要不充分(1)由题意知(2m)(1m)0，解得2m1.故m的取值范围是(2，1)(2)若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c等于0时不表示双曲线，即“ab5.所以实数m的取值范围是(5，)方程表示双曲线的条件及参数范围的求法1对于方程1，当mn0时表示双曲线进一步，当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线2对于方程1，则当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线3已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程
6、的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围2讨论1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？解由于k9，k25，则k的取值范围为k9,9k25，分别进行讨论(1)当k0,9k0，所给方程表示椭圆，此时，a225k，b29k，a2b216，这些椭圆有共同的焦点(4,0)，(4,0)(2)当9k0,9k25时，所给方程没有轨迹.双曲线中的焦点三角形探究问题双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？提示焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1MF22a；(2)SF1MF
7、2MF1MF2sinF1MF2；(3)F1FMFMF2MF1MF2cosF1MF2.【例3】设F1，F2为双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290，求F1PF2的周长及F1PF2的面积思路探究由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1PF2与PF1PF2，再求周长与面积解法一：点P在双曲线1上，|PF1PF2|4，F1F24.又F1PF290，F1PF2为直角三角形，PFPFF1F32.列方程组解得或F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1PF2(22)(22)4.法二：同解法一得|PF1PF2|4，F1F24
8、，PFPF32.(|PF1PF2|)2PFPF2PF1PF2，即16322PF1PF2，PF1PF28.(PF1PF2)2PFPF2PF1PF2321648，PF1PF24.F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1PF284.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合PF1PF22a，运用平方的方法，建立它与PF1PF2的联系，体现了数学中的一种整体思想3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.由双曲线方程得a，b，则c2.因为PF1PF22，且PF12P
9、F2，所以PF14，PF22，而F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2.1在双曲线的标准方程中，ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同()(2)点A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，则点C的轨迹是双曲线()(
10、3)在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.()答案(1)(2)(3)2以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.y21B.y21C.1 D.1B椭圆1的焦点为F1(0,1)，F2(0，1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y轴上，双曲线的方程为y21.3双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为_1方程可化为1.由条件可知9，解得k1.4根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)解(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a，c2，b2c2a25.双曲线的标准方程为1.(2)法一：c216420，c2，F(2，0)，2a|4，a212，b2c2a28，双曲线方程为1.法二：设所求双曲线方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)所求双曲线方程为1.
