1、3.2.2空间线面关系的判定1能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(重点)2向量法证明空间平行与垂直(重点、难点)3向量法证明线面平行(易错点)基础初探教材整理向量法判定线面关系阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2e1e2e1e2l1与1e1n1e1n11与2n1n2n1n21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一
2、定平行()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直()【答案】(1)(2)(3)(4)2设直线l1的方向向量为a(3,1，2)，l2的方向向量为b(1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是_【解析】ab(3,1，2)(1,3,0)3300，ab，l1l2.【答案】垂直3若直线l的方向向量为a(1,2,3)，平面的法向量为n(2，4，6)，则直线l与平面的位置关系是_【解析】n2a，na
3、，又n是平面的法向量，所以l.【答案】垂直4已知不重合的平面，的法向量分别为n1，n2，则平面与的位置关系是_. 【导学号：09390083】【解析】n13n2，n1n2，故.【答案】平行质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型向量法证明平行问题在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图327)，设O，O1分别为AC，A1C1的中点，求证：图327(1)BO1OD1；(2)BO1平面ACD1；(3)平面A1BC1平面ACD1.【精彩点拨】【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)
4、，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)(1)由上可知(1，1,2)，(1，1,2)，又直线BO1与OD1无公共点，BO1OD1.(2)法一：由上可知，(2,2,0)，(2,0,2)，共面，平面ACD1，又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.法二：设平面ACD1的一个法向量为n(x，y,1)，由得n(1,1,1)n(1，1,2)(1,1,1)0，n.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.(3)法一：(2,0,2)，(2,0,2)，又BC1与AD1不重合，B
5、C1AD1，又BC1平面ACD1，BC1平面ACD1.又由(1)知，BO1平面ACD1.BC1，BO1平面A1BC1，且BC1BO1B，平面A1BC1平面ACD1.法二：设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y,1)，由可求得n(1,1,1)，nn，平面ACD1平面A1BC1.1证明线面平行常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面(2)证明两个平面的法向量平行(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面
6、的法向量再练一题1如图328所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.图328【证明】法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则从而可得令x1，得y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)，n0，n.MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二：()，.MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD
7、.法三：()()()0，可用与线性表示，故与和是共面向量，MN平面A1BD，MN平面A1BD.向量法证明垂直问题如图329所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PA图329ABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.【精彩点拨】【自主解答】AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)ABC60，ABC为正三角形，C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，.又，0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又(1)0，即PDAE.(1,0,0)，0.PDAB，又
8、ABAEA，PD平面ABE.法二：(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.1证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直2证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直3证明面面垂直常用的方法(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直再练一题2在例2中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由【解】由例2，可知，设平面PDC的法向量为m(x，y，z)，则令y，则x
9、1，z2，即m(1，2)，由例2知，平面ABE的法向量为n(0,2，)，mn0220，mn.所以平面ABE平面PDC.探究共研型利用向量法证明平行、垂直关系探究1向量法判定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？【提示】向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度探究2用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？【提示】(1)建立空间图形与空间向量的联系；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题探究3向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？【提示
10、】在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻如图3210所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点图3210(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若
11、存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由【精彩点拨】根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论【自主解答】(1)证明：连结BD，设AC交BD于O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0，故OCSD，从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，设t，则t，而0，a2a2t0，t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.再练一题3在
12、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论图3211【解】假设在线段AB上存在一点M，使直线DE平面A1MC，建立如图所示的空间直角坐标系设ACa，BCb，AA1c，则D，E，A(a,0,0)，A1(a,0，c)，B(0，b,0)设M(x0，y0,0)，且0x0a,0y0b，则，(a,0，c)，(x0，y0,0)，设平面A1MC的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则z，y，n.若DE平面A1MC，则n0，即bx0ay00.又，即(x0a，y0,0)(x0，by0,0)，解得bx0ay0ab0.
13、由解得x0，y0，即M，所以存在点M为线段AB的中点时，使DE平面A1MC.构建体系1若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是_(填序号)n1(1,2,1)，n2(3,1,1)；n1(1,1,2)，n2(2,1,1)；n1(1,1,1)，n2(1,2,1)；n1(1,2,1)，n2(0，2，2)【解析】两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有中的两个向量垂直【答案】2已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_.【解析】由题意，知解得x64，y26，z17.【答案】(64，26，17)3两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,
14、0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_【解析】v22v1，v1v2，又l1与l2不重合，l1l2.【答案】平行4下列命题中，正确的是_(填序号)若n1，n2分别是平面，的一个法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的一个法向量，则 n1n20；若n是平面的一个法向量，a与平面共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】一定正确，中两平面有可能重合【答案】5如图3212, 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.图3212【证明】
15、以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有取z11，则n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有取z21，则n2(1，1,1)，n2.n2，PB平面EFD.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)
