1、山西省大同市第一中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题 理（含解析）（满分150分，答题时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.若复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法求解即可.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.2.研究人员想要确定水流过试验土床的速度（升/秒）是否能够用来预测土壤流失量（千克）.在这个研究中，解释变量是（ ）A. 被侵蚀的土壤量B. 水流的速度C. 土床的大小D. 土床的深度【答案】B【解析】分析】根据解释变量的定义进行判断即可.【详解
2、】因为水流的速度只能解释部分土壤流失量的变化，所以水流的速度为解释变量，土壤流失量为预测变量故选：B【点睛】本题主要考查了相关关系与函数关系的概念及辨析，属于基础题.3.若两个正数，之积大于1，则，这两个正数中（ ）A. 都大于1B. 都小于1C. 至少有一个大于1D. 一个大于1，一个小于1【答案】C【解析】分析】利用不等式的性质，以及反证法进行判断即可.【详解】对A项，取，满足，则A错误；对B项，若，这两个正数都小于1，则，不满足题意，则B错误；对C项，假设，都不大于1，即，则，与矛盾，即假设不成立，则，这两个正数中至少有一个大于1，则C正确；对D项，取，满足，则D错误；故选：C【点睛】本
3、题主要考查了不等式性质的应用，涉及了反证法的运用，属于中档题.4.当时，复数在平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案【详解】，点在第四象限【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题.5.在极坐标系中，已知两点，则，中点的极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，的值，即可得出其中点的极坐标.【详解】如下图所示，取的中点为，连接，且为等腰直角三角形，即，中点的极坐标为故选：C【点睛】本题主要考查了极坐标的应用，属于中档题.6.
4、下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）A. 回归直线一定过样本中心B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好【答案】D【解析】对于A，回归直线一定过样本中心，正确；对于B，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高故正确；对于C，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故正确；对于D，相关指数取值越大，说明残差平方和越小，模
5、型的拟合效果越好，又甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.98和0.80，0.980.80，甲模型的拟合效果好，故不正确本题选择D选项.7.已知两条曲线的参数方程：（为参数）和：（为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ）A. 5B. C. 7D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可.【详解】曲线的直角坐标方程为，的参数方程为（为参数）设这两条曲线的交点为，其对应的参数为将代入中，整理得，则故选：D【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.8.已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列
6、说法错误的是( )x681012y6m32A. 变量x,y之间呈现负相关关系B. 可以预测,当x=20时,y=3.7C. m=4D. 该回归直线必过点(9,4)【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=0.70，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.9.曲线的方程是（，为参数）
7、，和对应的点分别是、.设是曲线的焦点，且的面积为14，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出两点的坐标，进而得出直线的方程，利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离，由两点间距离公式得出的长，结合三角形面积公式，即可得出答案.【详解】将代入中，得出，则将代入中，得出，则消参得，则则直线的方程为，即点到直线距离，解得故选：A【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题.10.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110 由附表：00500010
8、00013841663510828参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A11.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，
9、鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M，月球质量为M，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由，得因为，所以，即，解得，所以【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二
10、是复杂式子的变形出错12.在四面体SABC中，二面角SACB的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是 （ ）A. B. C. 24D. 6【答案】D【解析】【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得SDB为二面角SACB，取等边SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心【详解】取AC中点D，连接SD，BD，因为，所以BDAC，因为SASC2，所以SDAC，AC平面SDB所以SDB为二面角SACB在，所以AC2取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作DO平面ABC，O为外接球球心，所以ED，二面角SACB的余弦值是，所以，OD，所以BOOAOSOC所以O点为四面体的外接球球心，其半径
11、为，表面积为6故选D【点睛】本题考查了四面体的内切外接问题，考查了二面角的定义及应用，考查了四面体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置是关键，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数的共轭复数是 _【答案】. 【解析】 ，故该复数的共轭复数为 .14.学校艺术节对同一类的，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_.【答案】B【解析】
12、【分析】首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确15.如果复数满足条件，那么实数的取值范围是_.【答案】【
13、解析】【分析】利用复数的模长公式得出，解不等式，即可得出答案.【详解】由，得，解得所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了由复数的模求参数的范围，属于基础题.16.已知椭圆和点，过点作椭圆的弦，若使是弦的三等分点，则此弦所在的直线的斜率是_.【答案】或【解析】【分析】讨论斜率存在的情况，联立椭圆方程和直线方程，结合韦达定理得出，再由是弦的三等分点，得出，解方程即可得出答案.【详解】若斜率不存在时，则直线方程为，代入椭圆方程得出，不满足是弦的三等分点，故斜率存在设直线的方程为，直线与椭圆交于两点，不妨设点是靠近点的三等分点设 ，由整理得则结合是弦的三等分点，得出即，即解得或故答案为：
14、或【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系求参数范围，属于中档题.三、解答题（共70分）17.某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示（单位：人）：80及80分以上80分以下总计试验班351550对照班2050总计5545（1）求，；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为教学方式与成绩有关系？【答案】（1），（2）具体见解析【解析】【分析】（1）利用列联表中的数据，即可得出的值；（2）计算，即可得出结论.【详解】（1）由列联表可知，（2）所以在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为教学方式与成绩有关系.【点睛】本题主要考查了补
15、全列联表以及独立性检验的应用，属于中档题.18.观察以下3个等式： , ， ， （1）照以上式子规律，猜想第个等式（nN*）；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立（nN*）【答案】（1）第n个式子（2）见解析【解析】试题分析：（1）由前三项归纳猜想第个等式（nN*）；（2）利用数学归纳法证明等式.试题解析：(1)对任意的nN*，.证明当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写
16、明莫忘掉.19.已知直线的参数方程为（为参数）.（1）求抛物线与直线交点的极坐标；（2）设圆与的交点为，点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）消参得出直线的直角坐标方程，与联立，得出交点的直角坐标，再化为极坐标即可；（2）利用直线参数方程参数的几何意义求解即可.【详解】（1）消参得出直线的直角坐标方程为联立，得，解得或则抛物线与直线交点的直角坐标为所以点的极坐标为，则点的极坐标为故抛物线与直线交点的极坐标为，（2）设对应参数为将代入中，得【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.20.如图，三棱柱中，侧棱底面，分别是，的中点，在棱上
17、，且.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定定理证明即可；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）取的中点为，连接，设在梯形中，分别是的中点，且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2），即底面，底面则以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设平面的法向量为取，则同理可得平面的法向量为由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了证明线面平行，利用向量法求面面角，属于中档题.21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（
18、为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求【答案】（1），；（2）或【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距
19、离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值22.点是抛物线：的焦点，动直线过点且与抛物线相交于，两点.当直线变化时，的最小值为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点，分别作抛物线的切线，与相交于点，与轴分别交于点，求证：与的面积之比为定值（为坐标原点）.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）证明直线的斜率为时不合题意，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消元，用根与系数的关系得出两点横坐标的关系，利用焦点弦长计算公式求，利用二次函数的性质得出的值，进而得出抛物线的方程；（2）用两点的坐标表示直线，的方程，再求点的横坐标，根据三角形的面积公式求比值，即可得出结论.【详解】（1）设，由已知得当直线的斜率为时，与有且只有一个交点，此时不合题意设直线的方程为联立直线与抛物线的方程，并消去，得，则显然当时，取得最小值，则故抛物线的标准方程为（2）证明：不妨设易得切线，将代入，整理得进而可知同理可得联立，消去，整理得到即点的横坐标为故故与的面积之比为定值【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及抛物线中的定值问题，属于较难题.
