1、1已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_解析：20 组随机数中恰有 2 个大于等于 1 且小于等于 4 的共有 191、271、932、812、393
2、五组，其概率为 5200.25.答案：0.25解析：分别从两个集合中各取一个数，共有 15 种取法，其中满足 ba 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P31515.2(2010北京高考改编)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是_答案：153先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy1的概率为_解析：抛掷 2 枚骰子，共有 6636 种情况，因为 log2xy1，所以 y2x，此时满足题意的数对(x，y)共有(1,2)、(2,4)、(3,
3、6)三种情况，所以概率 P 336 112.答案：1124(2010江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_解析：设 3 只白球为 A，B，C,1 只黑球为 d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd 共 6种，其中两只球颜色不同的有 3 种，故所求概率为12.答案：125集合x|xn6，n1,2,3，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 cosx12的概率是_解析：基本事件的个数为 10，其中只有 x3和 x53 时，cosx12，故其概率为 21015.答案：151事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的
4、每一个(2)等可能基本事件，在一次试验中，每个基本事件发生的可能性，则称这些基本事件为等可能基本事件基本结果都相同2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型(1)试验中所有可能出现的基本事件(2)每个基本事件出现的可能性只有有限个相等mn3古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A).有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数(
5、1)写出试验的基本事件；(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率；(3)求事件“出现点数相等”的概率考点一 简单古典概型的概率 自主解答(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共 16 个(2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)故 P1316.(3
6、)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故 P 41614.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件摸到1,2号球用(1,2)表示：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有10个基本事件(2)如图所示，上述 10 个基本事件的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球
7、(记为事件 A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故 P(A)310.故共有 10 个基本事件，摸出 2 只球都是白球的概率为 310.考点二 复杂的古典概型(理)(2011苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率自主解答(1)甲经过 A2，可分为两步：第一步，甲从
8、 M 到 A2 的方法有 C13种；第二步，甲从 A2 到 N 的方法有 C13种所以甲经过 A2 到达 N 处的方法有(C13)29 种(2)由(1)知，甲经过 A2 的方法数为 9；乙经过 A2 的方法数也为 9.所以甲、乙两人在 A2 处相遇的方法数为 9981；甲、乙两人在 A2 处相遇的概率为 81C36C36 81400.(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在 A1、A2、A3、A4处相遇，他们在 Ai(i1,2,3,4)处相遇的走法有(Ci13)4 种方法，所以(C03)4(C13)4(C23)4(C33)4164，故甲、乙两人相遇的概率为164400 41100.某车间甲组有
9、10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率解：(1)由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人(2)记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则P(A)C14C16C210 815.(3)Ai 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i0,1,2.B
10、j 表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人，j0,1,2.B 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人Ai 与 Bj 独立，i，j0,1,2，且 BA0B2A1B1A2B0.故 P(B)P(A0B2A1B1A2B0)P(A0)P(B2)P(A1)P(B1)P(A2)P(B0)C24C210 C24C210C14C16C210 C16C14C210 C26C210 C26C2103175.(文)(2011海淀模拟)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等，假定
11、指针停在任一位置都是等可能的当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券(例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次转动获得了10元，则其共获得了30元优惠券)顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动(1)若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券金额大于0元的概率(2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率自主解答(1)设“甲获得优惠券”为事件 A，因为假定指针停在任一位置都是等可能的，且题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在 20 元，10 元，0 元区域内的概率都是13.顾客甲获得优惠券金额大于 0 元时，指针停在 20 元或10 元区域，根据
12、互斥事件的概率求法，有 P(A)131323，所以，顾客甲获得优惠券金额大于 0 元的概率是23.(2)设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B，因为顾客乙转动了两次圆盘，设乙第一次转动圆盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件可以表示为：(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)，即 中含有 9 个基本事件，每个基本事件发生的概率为19.而乙获得优惠券金额不低于 20 元是指 xy20，所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个，所以乙获得优惠券金额不低于 20元的概率为P(B)69
13、23.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B
14、1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的(1)用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)61813.(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”这一事件，由 N(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1
15、，C1)，事件 N有 3 个基本事件组成，所以 P(N)31816.由对立事件的概率公式P(N)1P(N)11656.考点三 古典概型与统计的综合问题(2010湖南高考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率自主解答(1)由题意可得，x18 236 y54，所以 x1，y3.(2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1，b2，从高校 C 抽取的 3人为 c1，
16、c2，c3，则从高校 B，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 10 种设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X，则 X 包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 3 种因此 P(X)310.故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 310.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：年级 性别 高一 高二 高三 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机
17、抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？(2)已知y245，z245，求高三年级女生比男生多的概率解：(1)x20000.19，x380，高三年级人数为 yz2000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为 48200050012.(2)设“高三年级女生比男生多”为事件 A，高三年级女生、男生数记为(y，z)由(1)知 yz500，且 y，zN*，则基本事件空间包含的基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，
18、(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共 11 个，事件 A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共 5 个，P(A)511.故高三年级女生比男生多的概率为 511.高考对本节内容的考查形式既有填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向考题印证(2010福建高考)(12 分)
19、设平面向量 am(m,1)，bn(2，n)，其中 m，n1,2,3,4(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得 am(ambn)成立的(m，n)”为事件 A，求事件 A 发生的概率规范解答(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个(6 分)(2)由 am(ambn)得 m22m1n0，即 n(m1)2.(8 分)由于 m，n1,2,3,4，故事件 A 包含的基本事件为(2,
20、1)和(3,4)，共 2 个又基本事件的总数为 16，故所求的概率为P(A)21618.(12 分)1求古典概型概率的步骤(1)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.(2)利用公式 P(A)mn求出事件 A 的概率2有放回抽样和无放回抽样的概率在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法(1)有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去(2)无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的
21、球中再摸一只，这种摸球方法称为无放回的抽样显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次1(2011黄冈模拟)设集合Pb,1，Qc,1,2，PQ，若b，c2,3,4,5,6,7,8,9，则bc的概率是_解析：依题意得当 b2 时，c 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取，此时 bc；当 b 从 3,4,5,6,7,8,9 中选取时，有 bc.因此，bc 的概率为 77712.答案：122(2011银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n，则函数 y23mx3nx1 在1，)上为增函数的概率是_解析：由题可知，函数 y23mx3nx1 在1，)上单
22、调递增，所以 y2mx2n0 在1，)上恒成立，所以 2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共 6 种情况，所以满足条件的共有 30种情况，则函数 y23mx3nx1 在1，)上单调递增的概率为303656.答案：563(2010安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是_解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有662 18(对)，而相互垂直的有 5 对，故
23、根据古典概型概率公式得 P 518.答案：5184(2010辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_解析：基本事件总数为 6，所含基本事件个数为 2，所以所求的概率是 P2613.答案：135一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是_解析：法一：设 3 只白免分别为 b1，b2，b3,2 只灰兔分别为 h1，h2.则所有可能的情况是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，
24、b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共 20 种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有 12 种，所求概率为122035.答案：35法二：(理)从笼子中跑出两只兔子的情况有 A2520 种情况设事件 A：出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔则 P(A)C13C12C12C13A25122035.6(2010山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之
25、和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4，共 6 个从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3两个因此所求事件的概率 P2613.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个又满足条件 nm2 的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个，所以满足条件 nm2 的事件的概率为 P1 316.故满足条件 nm2 的事件的概率为 1P11 3161316.
