1、考纲要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理。2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。考情分析1.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容。2题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行。()(2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行。()(3)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则。()(4)二面角是指
2、两个相交平面构成的图形。()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面。()解析：(1)错误。两个平面也可能相交。(2)错误。两条直线也可能异面或相交。(3)错误。与 不一定垂直。(4)错误。二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。(5)错误。若平面 平面，则平面 内的直线 l 与 可平行，可相交，也可在平面 内。2下列命题中不正确的是()A如果平面 平面，且直线 l平面，则直线 l平面 B如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面C如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面，平面 平面，l，那么 l解析：根据面面垂
3、直的性质，知 A 不正确，直线 l 可能平行平面，也可能在平面 内，故选 A。答案：A3设 l、m、n 均为直线，其中 m、n 在平面 内，则“l”是“lm 且 ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当 l 时，lm 且 ln。但当 lm，ln 时，若 m、n不是相交直线，则得不到 l。答案：A4已知直线 m、n 和平面、满足 mn，m，则()An Bn，或 nCn Dn，或 n解析：n 与 的位置关系各种可能性都有，A、B 都不对。当n 时，作 nn，且 nmO，则 n与 m 确定平面。设 l，则有 ml，又 mn，所以 ln，ln，n；当 n
4、 时，显然成立。故 C 不对，D 正确。答案：D5三棱锥 PABC 的顶点 P 在底面的射影为 O，若 PAPBPC，则点 O 为ABC 的_心，若 PA、PB、PC 两两垂直，则 O为ABC 的_心。解析：当 PAPBPC 时，OAOBOC，O 为外心。当 PA、PB、PC 两两垂直时，AOBC，BOAC，COAB。O 为垂心。答案：外 垂知识重温一、必记 6个知识点1直线与平面垂直(1)定义：直线 l 与平面 内的_一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直。任意(2)判定定理与性质定理abOab2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_叫做这条直线和这
5、个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角。(2)范围：0，2。3平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。锐角两个半平面垂直于棱4平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直。直二面角5平面与平面垂直的判定定理与性质定理lla6.垂直关系中的两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。(2)若一条直
6、线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)。二、必明 3个易误点1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件。2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视。3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误。考点一 证明直线与平面垂直【典例 1】已知直角ABC 所在平面外一点 S，且 SASBSC，D 为斜边AC 中点。(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC。证明：(1)如图，取 AB 中点 E，连接 SE、DE，在 RtABC 中，D、E 分别为 AC、AB 的中点，故 DEBC，且
7、 DEAB，SASB，SAB 为等腰三角形。SEAB。SEAB，DEAB，SEDEE，AB平面 SDE。而 SD平面 SDE，ABSD。在SAC 中，SASC，D 为 AC 中点，SDAC。SDAC，SDAB，ACABA，SD平面 ABC。(2)方法一，若 ABBC，则 BDAC，由(1)可知，SD平面 ABC，而 BD平面 ABC，SDBD，SDBD、BDAC，SDACD，BD平面 SAC。方法二，若 ABBC，则 BDAC。由(1)知 SD平面 ABC，又SD平面 SAC，平面 ABC平面 SAC，又平面 ABC平面 SACAC。BD平面 SAC。悟技法证明线面垂直的常用方法(1)利用线面
8、垂直的判定定理。(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”。(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”。(4)利用面面垂直的性质定理。通一类1.(2016临沂模拟)如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD13DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB。求证：PACD。解析：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB，在 RtABC 中，由 3ACBC 得，ABC30，设 AD1，由 3ADDB 得，DB3，BC2 3，由余弦定理得 CD2DB2BC22DBBCcos303，
9、所以 CD2DB2BC2，即 CDAO。因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC，所以 PDCD，由 PDAOD 得，CD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PACD。考点二 证明平面与平面垂直【典例 2】如图所示，已知ABC 是等边三角形，EC平面 ABC，BD平面 ABC，且 EC、DB 在平面 ABC 的同侧，M 为 EA 的中点，CE2BD，求证：(1)平面 BDM平面 ECA；(2)平面 DEA平面 ECA。证明：如图，取 AC 中点 N，连接 MN、BN，EC平面 ABC，BD平面 ABC，ECBD。ECA 中，M、N 分别是 EA、CA 中点，MNEC，且 MN12EC。又
10、EC2BD，MNBD 且 MNBD。四边形 MNBD 是平行四边形。MDBN。EC平面 ABC，且 BN平面 ABC，ECBN。正三角形 ABC 中，N 是 AC 中点，BNAC。又 ACECC，BN平面 ECA，MD平面 ECA。(1)MD平面 ECA，MD平面 BDM，平面 BDM平面 ECA。(2)MD平面 ECA，MD平面 DEA，平面 DEA平面 ECA。悟技法面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转
11、化成证明线线垂直加以解决。提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。这是把面面垂直转化为线面垂直的依据。运用时要注意“平面内的直线”。通一类2.如图所示，已知 PAO 所在平面，AB 是O 的直径，点 C是O 上任意一点，过 A 作 AEPC 于点 E，AFPB 于点 F，求证：(1)AE平面 PBC；(2)平面 PAC平面 PBC；(3)PBEF。证明：(1)因为 AB 是O 的直径，所以ACB90，即 ACBC。又因为 PAO 所在平面，即 PA平面 ABC。又 BC平面 ABC，所以 BCPA。又因为 ACPAA，所以 BC平面 PAC。因为 AE平面 PAC，所
12、以 BCAE。又已知 AEPC，PCBCC，所以 AE平面 PBC。(2)因为 AE平面 PBC，且 AE平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC。(3)因为 AE平面 PBC，且 PB平面 PBC，所以 AEPB。又 AFPB 于点 F，且 AFAEA，所以 PB平面 AEF。又因为 EF平面 AEF，所以 PBEF。考点三 线面角与二面角的求法【典例 3】(2016天津模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是 PC 的中点。(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小。(2)证明 AE平面 PCD。(3)求二面角 AP
13、DC 的正弦值。解析：(1)在四棱锥 PABCD 中，因 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，故 PAAB.又 ABAD，PAADA，从而 AB平面 PAD，故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA，从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角。在 RtPAB 中，ABPA，故APB45。所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45。(2)证明：在四棱锥 PABCD 中，因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 CDPA.由条件 CDAC，PAACA，所以 CD平面 PAC。又 AE平面 PAC，所以 AECD。由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA。因为 E 是 P
14、C 的中点，所以 AEPC。又 PCCDC，所以 AE平面 PCD。(3)过点 E 作 EMPD，垂足为 M，连接 AM，如图所示。由(2)知，AE平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM，则AMPD。因此AME 是二面角 APDC 的平面角。由已知，可得CAD30。设 ACa，可得PAa，AD2 33 a，PD 213 a，AE 22 a。在 RtADP 中，因为 AMPD，所以 AMPDPAAD，则 AMPAADPDa2 33 a213 a2 77 a。在 RtAEM 中，sinAME AEAM 144。所以二面角 APDC 的正弦值为 144。悟技法空间线面角、二面角的求法(
15、1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足。(2)二面角的求法：直接法：根据概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点，垂面法：如图 1，过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角。图 1图 2垂线法：如图 2，过二面角的一个半平面内一点 A 作另一个半平面的垂线，再从垂足 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面 ABC，连接 AC，则 AC 也与二面角的棱垂直，ACB 就是二面角的平面角或其补角。通一类3.(2016合肥模拟)如图所示，三棱柱 ABCA1B
16、1C1 的底面是边长为2 的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 3，D 是 AC 的中点。(1)求证：B1C平面 A1BD。(2)求二面角 A1BDA 的大小。(3)求直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值。解析：(1)设 AB1 与 A1B 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 AB1 的中点，因为 D 为 AC 的中点，所以 PDB1C。又因为 PD平面 A1BD，B1C平面 A1BD，所以 B1C平面 A1BD。(2)由题知，平面 ACC1A1平面 ABC，平面 ACC1A1平面 ABCAC，又因为 BDAC，则 BD平面 ACC1A1，所以 BDA1D，所以A1DA 就是二面
17、角 A1BDA 的平面角。因为 AA1 3，AD12AC1，则 tanA1DAA1AAD 3，所以A1DA3，即二面角 A1BDA 的大小是3。(3)作 AMA1D 于 M。由(2)，易知 BD平面 ACC1A1，因为 AM平面 ACC1A1，所以 BDAM。因为 A1DBDD，所以 AM平面 A1BD。连接 MP，易知APM 就是直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角。因为 AA1 3，AD1，所以在 RtAA1D 中，A1DA3，所以 AM1sin60 32，AP12AB1 72，所以 sinAPMAMAP 3272 217，所以直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 217
18、。考点四 垂直关系中的探索性问题【典例 4】如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD。(1)求证：ADPB。(2)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD？并证明你的结论。解析：(1)方法一，如图，取 AD 中点 G，连接 PG，BG，BD。PAD 为等边三角形，PGAD，又平面 PAD平面 ABCD，PG平面 ABCD。在ABD 中，A60，ADAB，ABD 为等边三角形，BGAD，AD平面 PBG，ADPB。方法二，如图，取 AD 中点 GPAD 为正三角形
19、，PGAD又易知ABD 为正三角形ADBG。又 BG，PG 为平面 PBG 内的两条相交直线，AD平面 PBG。ADPB。(2)连接 CG 与 DE 相交于 H 点，在PGC 中作 HFPG，交 PC 于 F 点，FH平面 ABCD，平面 DHF平面 ABCD，H 是 CG 的中点，F 是 PC 的中点，在 PC 上存在一点 F，即为 PC 的中点，使得平面 DEF平面ABCD。悟技法垂直关系中探索性问题的处理策略(1)探索性问题一般可以根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点。(2)折叠问题中的垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前
20、后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系。通一类4.如图，在正三棱锥 ABCD 中，BAC30，ABa，平行于AD、BC 的截面 EFGH 分别与 AB、BD、DC、CA 交于 E、F、G、H四点。(1)试判断四边形 EFGH 的形状，并说明判断理由；(2)设 P 点是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面EFGH？请说明理由。解析：(1)四边形 EFGH 是一个矩形，下面给出证明：AD面 EFGH，面 ACD面 EFGHHG，AD面 ACD，ADHG，同理 EFAD，HGEF，同理有 EHFG，四边形 EFGH 是一个平行四边形。又三棱锥 ABCD 是一个正三棱锥，A 点
21、在底面 BCD 上的射影 O 点必是BCD 的中心，ODBC，ADBC。HGEH，即四边形 EFGH 是一个矩形。(2)作 CPAD 于 P，连结 BP，ADBC，AD面 BCP，HGAD，HG面 BCP，又 HG面 EFGH，面 BCP面 EFGH，在 RtAPC 中，CAP30，ACa，AP 32 a。高考模拟1(2016济南模拟)已知如图，六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABCDEF，则下列结论不正确的是()ACD平面 PAF BDF平面 PAFCCF平面 PAB DCF平面 PADD解析：A 中，因为 CDAF，AF平面 PAF，CD平面 PAF，所以 CD平面 P
22、AF 成立；B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以 DFAF。又因为 PA平面 ABCDEF，所以 PADF，又因为 PAAFA，所以 DF平面 PAF 成立；C 中，因为 CFAB，AB平面 PAB，CF平面 PAB，所以 CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D。2(2016济南模拟)已知 l，m，n 是三条不同的直线，是不同的平面，则 的一个充分条件是()Al，m，且 lmBl，m，n，且 lm，lnCm，n，mn，且 lmDl，lm，且 mD解析：对于 A，若 l，m，且 lm。如图(1)所示虽满足条件，但 与 不垂直。图(1)图(2)对于 B，当 mn 时
23、，也得不到平面 与平面 垂直。对于 C，如图(2)所示条件满足但平面 与平面 不垂直。对于 D，由 lm，m 得 l，又 l，因此有。3(2016合肥模拟)已知不同的直线 l，m，不同的平面，下列命题中：若，l，则 l；若，l，则 l；若 l，m，则 lm；若，l，ml，则 m。真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面，故是真命题；两平面平行，若一条直线垂直于其中一个平面，则必垂直于另一个平面，故是真命题；对于，直线 l 也有可能与直线m 异面，故是错误的；对于，若直线 m 不在平面 内，则不成立，故是错误的，所以真命题有 2 个，故选 C
24、。答案：C4(2016西安模拟)已知在正三棱锥 SABC 中，E 是侧棱 SC 的中点，且 SABE，则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为()A.12B.23C.23D.63D解析：如图所示，在正三棱锥 SABC 中，作 SO平面 ABC，连接 AO，则 O 是ABC 的中心，BC平面 ABC，所以 SOBC，AOBC，AOSOO，由此可得 BC平面 SAO，所以 SABC。又 SABE，BEBCB，所以 SA平面 SBC，故正三棱锥 SABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形。连接 OB，则SBO 为 SB 与底面 ABC 所成的角。设 SAa，则 AB 2a，BO 63 a，所以 cosSBO 63。5(2016成都模拟)设 P 是 60的二面角 l 内一点，PA，PB，A，B 分别为垂足，PA2，PB4，则 AB 的长是_。解析：如图所示，PA 与 PB 确定平面，设平面 与 l 交于点 E，则 BEl，AEl，所以BEA 即为二面角的平面角，所以BEA60，从而BPA120，在BAP 中，由余弦定理，得 AB2PA2PB22PAPBcosBPA416828。所以 AB2 7。答案：2 7
