1、2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差第二章 概 率1.了解随机变量的数学期望与样本平均值的联系与区别.2.理解数学期望、方差的概念、两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望与方差.3.能利用期望与方差的意义解决实际问题.第二章 概 率栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率1离散型随机变量的数学期望(1)定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是 p1，p2，pn，则 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 叫做这个离散型随机变量 X 的_(简称期望)均值或
2、数学期望栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的_(2)性质：若 X、Y 是离散型随机变量，且 YaXb，其中 a，b 为常数，则有 E(Y)_ 平均取值水平aE(X)b栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率2离散型随机变量的方差(1)离散型随机变量的方差、标准差设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，xn，这些值对应的概率是 p1，p2，pn，则 D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn 叫做这个离散型随机变量 X 的方差离散型随机变量的方差
3、反映了离散型随机变量取值相对于期望的_ 平均波动大小栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率D(X)的_叫做离散型随机变量 X 的标准差(2)方差的性质若 X 是随机变量，YaXb 也是随机变量，则 D(Y)D(aXb)a2D(X)3随机变量的数字特征反映概率分布的某种特征的数值叫做离散型随机变量的数字特征 算术平方根 D（X）栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率4常见几种分布的数学期望和方差XX 服从二点分布 XB(n，p)超几何分布E(X)pnpnMN D(X)p(1p)np(1p)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自
4、主学习第二章 概 率1判断(对的打“”，错的打“”)(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 E(2X)4.()答案：(1)(2)(3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率2已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P35310110则 X 的数学期望 E(X)()A.32 B2C.52D3 答案：A 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率3已知离散型随机变量 的概率分布列如下：012P0.33k4k随机变量
5、 21，则 的数学期望是()A1.1 B3.2C11kD22k1 答案：B 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率4已知随机变量 XB(100，0.2)，那么 D(4X3)的值为()A64 B256C259 D320 答案：B 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率求离散型随机变量的期望随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了 50 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升
6、 预习案自主学习第二章 概 率年龄20，25)25，30)30，35)35，40)40，45)人数45853年龄45，50)50，55)55，60)60，65)65，70人数67354栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率经调查，年龄在25，30)，55，60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是 3 和 2，现从这两组的被调查者中各随机选取2 人，进行跟踪调查(1)求年龄在25，30)的被调查者中选取的 2 人都赞成“延迟退休”的概率；(2)若选中的 4 人中，不赞成“延迟退休”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 栏目导引探究案讲练互动应用案
7、巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率【解】(1)设“年龄在25，30)的被调查者中选取的 2 人都赞成延迟退休”为事件 A，则 P(A)C23C25 310.(2)X 的可能取值为 0，1，2，3.所以 P(X0)C23 C22C25 C23 110，P(X1)C12 C13 C22C23 C12 C11C25 C2325，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率P(X2)C22 C22C13 C12 C12 C11C25 C231330，P(X3)C22 C12 C11C25 C23 115.所以 X 的分布列为X0123 P110251330115所以 E(X
8、)0 110125213303 1152215.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值(2)求概率：求 X 取每个值的概率(3)写分布列：写出 X 的分布列(4)求均值：由均值的定义求出 E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率1.口袋中有编号分别为 1、2、3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的均值为()A.13 B.23 C2 D.83 解
9、析：选 D.X 可能取值为 2，3.P(X2)1C2313，P(X3)C12C2323.所以 E(X)13223322383.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛(1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学
10、期望 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率解：(1)由已知，有 P(A)C22C23C23C23C48 635.所以，事件 A 发生的概率为 635.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4.P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4)所以，随机变量 X 的分布列为 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率X1234 P1143737114随机变量 X 的数学期望 E(X)1 1142373374 11452.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率求离散型随机变量的方差袋中有 20 个大
11、小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号求 的分布列、均值和方差.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率【解】由题意得，的所有可能取值为 0，1，2，3，4，P(0)102012，P(1)120，P(2)220 110，P(3)320，P(4)42015.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率故 的分布列为01234 P1212011032015 所以 E()0121 1202 1103 3204151.5，D()(01.5)212(11.5)2 120
12、(21.5)2 110(31.5)2320(41.5)2152.75.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率在本例条件下，若 ab，E()1，D()11，试求 a，b 的值解：由 D(ab)a2D()11，E(ab)aE()b1，及 E()1.5，D()2.75，得 2.75a211，1.5ab1，解得 a2，b2 或 a2，b4.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率(1)求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值；求 X 取每一个值的概率；写出随机变量 X 的分布列；由均值、方差的定义求
13、E(X)，D(X)(2)对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如 D(ab)a2D()，这样处理既避免了求随机变量 a b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前 3 次投篮中，乙投篮的次数为，求 的分布列、期望和方差 解：乙投篮的次数 的取值为 0，1，2.P(0)131319；P(1)13232314 718.P(2)233412.栏目导引探究案讲练互动应用案
14、 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率故 的分布列为012 P1971812 E()0191 7182122518，D()(02518)219(12518)2 718(22518)212149324.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率数学期望与方差的实际应用甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和 的分布列如下：012 P610110310 012 P510310210试对这两名工人的技术水平进行比较 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率【解】工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为 E()
15、0 6101 1102 3100.7，D()(00.7)2 610(10.7)2 110(20.7)2 3100.81.工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为 E()0 5101 3102 2100.7，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率D()(00.7)2 510(10.7)2 310(20.7)2 2100.61.由 E()E()知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D()D()，可见乙的技术比较稳定 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率均值仅体现了随机变量取值的平均大小，而方差则说明了随机变量取值的稳定程度因此，我
16、们可以利用均值和方差的意义分析、解决实际问题当我们希望实际的平均水平比较理想时，不但要比较它们的均值，还应看它们相对于均值的偏离程度；如果我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相当接近栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如下表所示：分数 X8090100概率 P0.20.60.2(甲)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率分数 Y8090100概率 P0.40.20.4 (乙)试分析两名学生的成绩水平解：甲同学成
17、绩的期望与方差为：E(X)800.2900.61000.290，D(X)(8090)20.2(9090)20.6(10090)20.240.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率乙同学成绩的期望与方差为：E(Y)800.4900.21000.490，D(Y)(8090)20.4(9090)20.2(10090)20.480，所以甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率1求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量 X 的取值；(2)写出分布列，并检查分布列正确与否；(3)根据公式求出均值2若 X、Y
18、 是两个随机变量，且 YaXb，则 E(Y)aE(X)b，即随机变量 X 的线性函数的数学期望等于这个随机变量的期望 E(X)的同一线性函数 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率3若随机变量服从二点分布或二项分布，可根据公式直接计算D(X)4均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值较集中 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率1计算随机变量的均值和方差，关键是把分布列写正确 2对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值
19、 E()是一个数值，是随机变量 本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平正如概率作为随机变量发生的频率一样，要在大量现象中才能显现出来 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率1若 X 的分布列为 X01 P15a，则 E(X)()A.45 B.12 C.25 D.15解析：选 A.由题意知15a1，E(X)015aa45.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率2若随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 E(X)的值为()A.43B.83C.133D.89 解析：选 A.E(X)41343.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率3已知随机变量 的方差 D()4，且随机变量 25，则D()_ 解析：由 D(ab)a2D()，得 D()D(25)22D()16.答案：16 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 概 率本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
